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高中数学竞赛标准讲义：第十五章：复数

第一篇：高中数学竞赛标准讲义：第十五章：复数高中数学竞赛标准讲义：第十五章：复数一、基础知识1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z).z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θz1（1）z1z2z1z2；（2）z1z2z1z2；（3）zz|z|2；（4）z2z1；（5）z2|z1z2||z1||z2|；（6）|z1|z1|；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z2|z2|1。z4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1•|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则z•z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若z20,z1r1[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用z2r2指数形式记为z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),z1r1i(12)e.z2r25.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).2k2kisin)，k=0,1,2,„,n-1。6.开方：若wnr(cosθ+isinθ)，则wnr(cosnn22isin7．单位根：若wn=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=cos，nn则全部单位根可表示为1,Z1,Z12,,Z1n1.单位根的基本性质有（这里记ZkZ1k，k=1,2,„,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；（2）对任意0,当n|m,mm整数m，当n≥2时，有1Z1mZ2=特别1+Z1+Z2+„+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+„Zn1n,当n|m,+x+1=(x-Z1)(x-Z2)„(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-Z12)„(x-Z1n1).8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角主值分别相等。9．复数z是实数的充要条件是z=z;z是纯虚数的充要条件是：z+z=0（且z≠0）.10.代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。11．实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根，则z=a-bi也是一个根。12．若a,b,c∈R,a≠0，则关于x的方程ax2+bx+c=0，当Δ=b2-4ac二、方法与例题1．模的应用。例1求证：当n∈N+时，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有纯虚根。[证明]若z是方程的根，则(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(z+1)=(z-1)(z-1)，化简得z+z=0，又z=0不是方程的根，所以z是纯虚数。例2设f(z)=z2+az+b,a,b为复数，对一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。[解]因为4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等号成立。所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同，且模相等。所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=