高数总复习题一.docx

高数总复习题一

第一篇：高数总复习题一1总习题一1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件.数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件.(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf(x)存在的________条件.xx0xx0limf(x)存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件.xx0(3)f(x)在x0的某一去心邻域内无界是limf(x)的________条件.xx0limf(x)是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件.xx0(4)f(x)当xx0时的右极限f(x0)及左极限f(x0)都存在且相等是limf(x)存在的________条件.解(1)必要,充分.(2)必要,充分.(3)必要,充分.(4)充分必要.2.选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:设f(x)2x3x2.则当x0时,有().(A)f(x)与x是等价无穷小;(B)f(x)与x同阶但非等价无穷小;(C)f(x)是比x高阶的无穷小;(D)f(x)是比x低阶的无穷小.xxxxf(x)232213limlimlim1解因为limx0x0x0x0xxxxtln3limuln2ln3ln2lim(令2x1t,3x1u)t0ln(1t)u0ln(1u)所以f(x)与x同阶但非等价无穷小.故应选B.3.设f(x)的定义域是[0,1],求下列函数的定义域:(1)f(ex);(2)f(lnx);(3)f(arctanx);(4)f(cosx).解(1)由0ex1得x0,即函数f(ex)的定义域为(,0].(2)由0lnx1得1xe,即函数f(lnx)的定义域为[1,e].(3)由0arctanx1得0xtan1,即函数f(arctanx)的定义域为[0,tan1].(4)由0cosx1得2nx2n(n0,1,2,),22即函数f(cosx)的定义域为[2n,n],(n0,1,2,).224.设x00x00f(x),g(x)2,xx0xx0求f[f(x)],g[g(x)],f[g(x)],g[f(x)].0x0解因为f(x)0,所以f[f(x)]f(x)xx0;因为g(x)0,所以g[g(x)]0;因为g(x)0,所以f[g(x)]0;x00因为f(x)0,所以g[f(x)]f2(x)2.xx05.利用ysinx的图形作出下列函数的图形:(1)y|sinx|;(2)ysin|x|;(3)y2sinx.6.把半径为R的一圆形铁片,自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥.试将这圆锥的体积表为的函数.解设围成的圆锥的底半径为r,高为h,依题意有R(2)R(2)2r,r22R2(2)2RhRrR.242圆锥的体积为R2(2)2142RV32423R(2)2a2(02).2242x7.根据函数极限的定义证明limx65.x3x32x证明对于任意给定的0,要使|x65|,只需|x3|,取,当x30|x3|时,就有|x3|,即|xx65|,所以limxx65.x3x3x38.求下列极限:1;(1)limxxx1(x1)2(2)limx(x21x);x(3)lim(2x3x1;x2x1sinx;(4)limtanx3x0xxxx1abc(5)lim)(a0,b0,c0);x03(6)lim(sinx)tanx.x2(x1)2x1.0,所以limx解(1)因为lim22x1xx1x1(x1)x(x21xx21x)(2)limx(x1x)lim2xx(x1x)limxx11.limx21xx112x22x112x322x1x1(3)lim)lim(1lim(1)22x2x1xx2x12x12x12x111lim(12(12)lim(12)lim(12)e.xxx2x12x12x12x1sinx(11)sinx(1cosx)sinxlimlim(4)limtanxx0x0x0x