2019_2020学年高中数学第一章解三角形1.doc

-5-1.1.2余弦定理[选题明细表]知识点、方法题号已知两边及一角解三角形257已知三边或三边关系解三角形136利用余弦定理判断三角形的形状412综合应用问题891011基础巩固1.在△ABC中a=7b=4c=则△ABC的最小角为(B)(A)(B)(C)(D)解析:由三角形边角关系可知角C为△ABC的最小角则cosC===所以C=故选B.2.在△ABC中已知A=30°且3a=b=12则c的值为(C)(A)4(B)8(C)4或8(D)无解解析:由3a=b=12得a=4b=4利用余弦定理a2=b2+c2-2bccosA即16=48+c2-12c解得c=4或c=8.故选C.3.(2019·重庆高二月考)已知abc是△ABC的三边长若满足等式(a+b-c)·(a+b+c)=ab则角C的大小为(C)(A)60°(B)90°(C)120°(D)150°解析:由(a+b-c)(a+b+c)=ab得(a+b)2-c2=ab所以c2=a2+b2+ab=a2+b2-2abcosC所以cosC=-所以C=120°.故选C.4.在△ABC中B=60°b2=ac则此三角形一定是(B)(A)直角三角形(B)等边三角形(C)等腰直角三角形(D)钝角三角形解析:由余弦定理得b2=a2+c2-ac又因为b2=ac所以a2+c2-2ac=0即(a-c)2=0所以a=c因为B=60°所以A=C=60°.故△ABC是等边三角形.故选B.5.在△ABC中角ABC所对边的长分别为abc.若a=2B=c=2则b=.解析:因为a=2B=c=2所以b===2.答案:26.在△ABC中sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4则cosC=.解析:因为sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4所以a∶b∶c=3∶2∶4.令a=3kb=2kc=4k(k>0)则cosC==-.答案:-7.(2019·大连高二期末)在△ABC中A+C=2Ba+c=8ac=15求b.解:在△ABC中因为A+C=2BA+B+C=180°所以B=60°.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB=82-2×15-2×15×=19.所以b=.能力提升8.(2019·烟台高二期末)在△ABC中有下列关系式:①asinB=bsinA;②a=bcosC+ccosB;③a2+b2-c2=2abcosC;④b=csinA+asinC.一定成立的有(C)(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:对于①③由正弦、余弦定理知一定成立.对于②由正弦定理及sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB知显然成立.对于④利用正弦定理变形得sinB=sinCsinA+sinAsinC=2sinAsinC又sinB=sin(A+C)=cosCsinA+cosAsinC与上式不一定相等所以④不一定成立.故选C.9.在△ABC中内角ABC的对边分别是abc若a2-b2=bcsinC=2sinB则A等于(A)(A)30°(B)60°(C)120°(D)150°解析:因为sinC=2sinB由正弦定理得c=2b所以cosA====又A为三角形的内角所以A=30°.故选A.10.(2019·湖南株洲检测)在△ABC中若a=2b+c=7cosB=-则b=.解析:因为b+c=7所以c=7-b.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB即b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×(-)解得b=4.答案:411.在△ABC中内角ABC的对边分别为abc.已知=.(1)求的值;(2)若cosB=△ABC的周长为5求b的长.解:(1)由正弦定理可设===k则==所以=即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB化简可得sin(A+B)=2sin(B+C).又A+B+C=π所以sinC=2sinA因此=2.(2)由=2得c=2a.由余弦定理及cosB=得b2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-4a2×=4a2所以b=2a.又a+b+c=5所以a=1因此b=2.探究创新12.在△ABC中abc分别为内角ABC的对边且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC(1)求A的大小;(2)若sinB+sinC=1试判断△ABC的形状.解:(1)由已知根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c即a2=b2+c2+bc.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可求得cosA=-.又因为A为△ABC内角所以A=120°