2018年高考数学命题角度4.doc

-16-命题角度4.3：空间中的折叠问题1.如图四边形为等腰梯形将沿折起使得平面平面为的中点连接.（1）求证：；（2）求到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）到平面的距离为【解析】试题分析：（1）在图中作于由平面几何知识可知又平面平面所以平面可证。（2）为的中点到平面的距离等于到平面距离的一半过作于平面就是到平面的距离.（2）如图为的中点到平面的距离等于到平面距离的一半.而平面平面所以过作于又由则平面就是到平面的距离.由图易得.到平面的距离为.2.已知下图中四边形ABCD是等腰梯形于M、交EF于点N现将梯形ABCD沿EF折起记折起后C、D为、且使如图示．(Ⅰ)证明：平面ABFE；(Ⅱ)若图中求点M到平面的距离．【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)．【解析】试题分析：（I）折叠前后⊥EF、MN⊥EF故EF⊥平面故.利用勾股定理可证得所以平面ABFE；（II）设点M到平面的距离为h利用勾股定理证明利用等体积法可求得点M到平面的距离为.试题解析：(Ⅰ)可知∴⊥EF、MN⊥EF又得EF⊥平面得∵∴又∴平面ABFE．∴又代入①式得解得∴点M到平面的距离为．3.如图1在边长为4的正三角形中分别为的中点为的中点.将与分别沿同侧折起使得二面角与二面角的大小都等于90°得到如图2所示的多面体.（1）在多面体中求证：四点共同面；（2）求多面体的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由已知条件可证明平面和平面所以故四点共同面；（2）利用体积分割求.（2）因为平面平面所以是四棱锥的高点到平面的距离等于点到平面又所以.4.以为直径的圆经过、两点延长、交于点将沿线段折起使点在底面的射影恰好为的中点.若线段、的中点分别为.（1）判断四点是否共面并说明理由；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）四点不共面.（2）【解析】试题分析：（1）证明四点不共面基本方法为反证法即假设四点共面则由线线平行得到线面平行平面再由线面平行得到线线平行与条件相交矛盾反设不成立得到结论（2）求四棱锥的体积关键在于求高而高的寻求往往借助于线面垂直关系得到本题根据面面垂直性质定理得到线面垂直所以为四棱锥的高再代入体积公式即可.试题解析：（1）假设四点共面因为平面所以平面又因为平面平面平面所以与已知矛盾所以四点不共面.（2）由题意又于所以平面所以平面平面点在底面的射影恰为的中点所以所以为四棱锥的高∴∴∴线段的中点为所以点到平面的高为连接所以5.如图（1）五边形中.如图（2）将沿折到的位置得到四棱锥.点为线段的中点且平面．（1）求证：平面平面；（2）若直线与所成角的正切值为设求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）要证明面面垂直一般先证线面垂直题中已知平面由于是的中点只要取的中点可证从而得平面因此就得到面面垂直；（2）由（1）的垂直可证是等边三角形因此有再得于是有平面可得这样可求得图形中各线段长可得四棱锥的底面积和高得体积．试题解析：（1）证明：取的中点连接则又所以则四边形为平行四边形所以又平面∴平面∴平面平面PCD；所以所以.∴为直线与所成的角由（1）可得∴∴由可知则.6.如图（1）所示已知四边形是由直角△和直角梯形拼接而成的其中.且点为线段的中点现将△沿进行翻折使得二面角的大小为得到图形如图（2）所示连接点分别在线段上.（1）证明：；（2）若三棱锥的体积为四棱锥体积的求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)利用线面垂直的判断定理可证得平面则.(2)利用体积的比值结合体积公式可得点到平面的距离为.试题解析：（Ⅰ）因为平面平面又所以平面．又平面所以．在直角梯形中所以又所以即又所以平面．因为平面所以.（Ⅱ）设点到平面的距离为因为且所即故点到平面的距离为.7.如图在矩形中分别为的中点现将沿折起得四棱锥.（1）求证：平面；（2）若平面平面求四面体的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）取线段的中点连接只需证明四边形为平行四边形即有可得；（2）先证平面进而四面体的体积.试题解析：(1)取线段的中点连接因为为的中点所以且在折叠前四边形为矩形为的中点所以且.且所以四边形为平行四边形故又平面平面所以平面.8.如图1平行四边形中现将△沿折起得到三棱锥(如图2)且点为侧棱的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积；（Ⅲ）在的角平分线上是否存在点使得∥平面？若存在求的长；若不存在请说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面几何知识先证明再由线面垂直的判定的定理可得平面从而得进而可得平面最后由由线面垂直的判定的定理可得结论；（