证明三角形重心判定性质.docx

证明三角形重心判定性质例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。求证：EG=1/2CG证明：过E作EH∥BF交AC于H。∵AE=BE，EH//BF∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)又∵AF=CF∴HF=1/2CF∴HF:CF=1/2∵EH∥BF∴EG:CG=HF:CF=1/2∴EG=1/2CG方法二连接EF利用三角形相似求证：EG=1/2CG即证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC证明三角形重心判定性质证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知：OA'=1/3AA'OB'=1/3BB'OC'=1/3CC'过O，A分别作a边上高OH'，AH可知OH'=1/3AH则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC同理可证S△AOC=1/3S△ABCS△AOB=1/3S△ABC所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB在三角形ABC中，向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO=a+xBF=a+x(AF-AB)=a+x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO=b+yCD=b+y(AD-AC)=b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b则1-x=y/2，x/2=1-y，解得x=2/3,y=2/3.向量BO=2/3BF，向量CO=2/3CD即BO：OF=CO：OD=2。∴向量AO=(y/2)a+(1-y)b=1/3a+1/3b又因向量AE=AB+BE=a+1/2BC=a+1/2(AC-AB)证明三角形重心判定方法已知：△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点.三角形重心证明：根据燕尾定理,S△AOB=S△AOC,又S△AOB=S△BOC,∴S△AOC=S△BOC,再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证。1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标(Z1+Z2+Z3)/35、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分.证明：刚才证明三线交一时已证。6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。证明三角形重心判定性质