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http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网9.5空间的角和距离一、明确复习目标1.掌握空间三种角的概念和求法;2.掌握空间中各种距离的概念和求法;3.能利用这些概念和方法进行论证和解决有关问题.二.建构知识网络1.空间的三种角,即异面直线所成角、直线与平面所成角。平面与平面所成二面角.2.距离有七种,即点点、点线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离.空间角和距离的求法,概括地讲都是转化为平面几何几何问题求解,或利用下列计算公式.3.常用计算公式S′=S.cosαcosθ=cosθ1·cosθ2能想象上式中α,θ,θ1,θ2是什么角,S,S′表示什么吗?(3)异面直线上两点间距离公式:设异面直线a,b所成角为θ则EF2=m2+n2+d2±2mncosθθθ三、双基题目练练1.在正△ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B—AD—C后,BC=AB,这时二面角B—AD—C大小为()A.600B.900C.450D.12002.在△ABC中,AB=15,∠BCA=120°,若△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14,则P到α的距离是()A.13B.11C.9D.73.三棱锥V—ABC中,VA=BC,VB=AC,VC=AB,侧面与底面ABC所成二面角分别为α,β,γ(都是锐角),则cosα+cosβ+cosγ等于()A.1B.2C.D.4.设PA⊥Rt△ABC所在的平面α,∠BAC=90°,PB、PC分别与α成45°和30°角,PA=2,则PA与BC的距离是_____________;点P到BC的距离是_____________.5.对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题可以得到命题__________,这个命题的真假性是______.6。正三棱锥的高为,侧棱与底面成角,则点到侧面的距离为_____.◆答案提示:1-3.ABA;4.;2.提示:作PO⊥平面ABC于O,则O是Δ的外接圆圆心,且∠AOB=1200……3.提示:四个面全等,设面积为S,设三个侧面在底面上的射影分别是S1、S2、S3,则S=S1+S2+S3=Scosα+Scosβ+Scosγ…5.“如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直,那麽这两个二面角的平面角相等或互补”.当两棱不平行不成立,所以,这个命题是错误的.6。四、以典例题做一做【例1】如图,三棱锥D—ABC中,平面ABD、平面ABC均为等腰直角三角形,∠ABC=∠BAD=900,其腰BC=a,且二面角D—AB—C=600.求异面直线DA与BC所成的角;求异面直线BD与AC所成的角;求D到BC的距离;求异面直线BD与AC的距离.DCBA解析:(1)DA与BC成600角(2)设BE中点为O,DE中点为F,连OF,则OF//BD,求∠AOF即为异面直线BD与AC成角在ΔAOF中可求得∠AOF=arccosFOMDECNBA(3)∵BA⊥平面ADE∴平面DAE⊥平面ABC故取AE中点M,则有DM⊥平面ABC;取BC中点N,由MN⊥BC,根据三垂线定理,DN⊥BC∴DN是D到BC的距离在△DMN中,DM=a,MN=a∴DN=a(4)∵BF平面BDF,AC平面BDF,AC∥BF∴AC∥平面BDF;又BD平面BDF∴AC与BD的距离即AC到平面BDF的距离∵,∴,即异面直线BD与AC的距离为◆评注:三棱锥的等体积变换求高,也是求点到面距离的常用方法.【例2】(2006邯郸二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥DC,AB=4,AD=DC=2,侧面PAD是正三角形,且与底面垂直,M是PB的中点,(Ⅰ)求证:CM∥侧面PAD;(Ⅱ)求直线CM与底面ABCD所成的角;(Ⅲ)求侧面PBC与侧面PAD所成二面角的大小DCBPAM解:(Ⅰ)证明:作MN∥AB交AP于N,连结DN,则MN∥AB∥CD,且∴CM∥ND,CM∥平面PAD(Ⅱ)∵CM∥ND,∴ND与平面ABCD所成的角为所求.∵侧面PAD⊥底面ABCD,∴ND在平面A
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