数学中的公理化方法课件公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

第七章数学中公理化办法§1公理化办法概述一、公理化办法含义由公理化办法把一个数学分支建成为演绎体系，关键是引进基本概念，设置基本公理．1．相容性2．独立性3．完备性上述三项基本要求中，最主要是相容性。二、公理化办法产生和发展1．产生阶段——由亚里士多德完全三段论到欧几里得《几何原本》问世。希腊著名数学家欧几里得在泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图等学派工作基础上，利用亚里士多德提供逻辑办法，写出了数学史上主要著作《几何原本》。这是古代数学公理化办法一个光辉成就。《几何原本》问世，标志着公理化办法诞生，《几何原本》奉献倒不在于发觉了几条新定理，而主要在于它把原先零乱、互不相关几何知识，按公理系统方式进行妥切安排，使得反应几何事实公理和定理都能与论证联系起来，构成一个有条不紊有机整体。2．完整阶段——由罗巴切夫斯基非欧几何到希尔伯特《几何基础》问世。直到19世纪，俄国数学家罗巴切夫斯基吸取了前人两千多年来在证实第五公设中失败教训，结识到第五公设与其它几何公理是互相独立，除掉第五公设成立欧氏几何外，还能够有第五公设不成立新几何系统存在。于是他在剔除第五公设而保留欧氏几何其余公理前提下，引进了一个与第五公设相反公理：“过平面上一已知直线外一点至少可引两条直线与该已知直线平行”，由此构成了一个新几何系统与欧氏几何系统相并列。非欧几何创建，大大提升了公理化办法信誉，接着便有许多数学家致力于公理化办法研究。如德国数学家康托尔与戴德金不约而同地拟成了连续性公理、德国数学家巴许拟成了顺序公理。在这个基础上，希尔伯特于1899年发表了《几何学基础》一书，改造了欧氏几何系统，完善了几何学公理化办法。3．形式化阶段——集合悖论出现后，希尔伯特在其形式化研究办法，尤其是元数学（证实论）中，将公理化办法推向一个新阶段。然而在希氏《几何学基础》中，于是，以后希尔伯特将将某种数学理论（如自然数理论、几何理论等）作为一个整体加以研究，提出了希尔伯特规则，即：证实古典数学每个分支都能够公理化；证实每个这样系统都是完备；证实每个这样系统都是相容；证实每个这样系统所相应模型都是同构；寻找一个能够在有限环节内鉴定任一命题可证实性办法。希尔伯特为详细实行这个规划而创建了证实论即元数学理论。希尔伯特对元数学研究，使公理化办法进一步准确化：三、公理化办法作用1．公理化办法是整理分析、加工总结数学经验资料，建立科学理论体系基本工具。2．公理化办法有助于比较数学各个分支实质性异同，增进数学摸索与基础研究，推动数学新理论产生。3．数学公理化办法在科学办法论上，对各门自然科学起着示范作用。诚然，公理化办法含有重大作用，但也不能将它绝对化，必须辩证地看到它不足之处。§2欧几里得几何公理系统简介一、23条定义（6）面界是线。（7）平面是这样面，它对于它任何直线来说，都是同样放置着。接着15条是关于角、平角、直角和垂线、钝角、锐角；圆、圆周和中心、直径、半圆、直线形、三角形、四边形、多边形、等边三角形、等腰三角形、不等边三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、正方形、菱形、梯形定义。（23）平行线是在同一平面上并且向两侧延长总不相交直线。二、5条公设三、9条公理四、467条定理但是，欧几里得几何公理系统是不够完善，比如：在证实过程中，经常依赖于图形直观。