（专题）平行四边形的模型.docx

模型一中点四边形模型通解1.如图所示，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，求证：四边形是平行四边形．【答案】见解析【解析】【分析】连接BD，利用三角形的中位线定理证明得出，从而得到四边形是平行四边形【详解】解：如图，连接．∵点E，H分别是线段的中点，∴是的中位线，∴EH∥BD，．同理，．∴，∴四边形是平行四边形．【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理和平行四边形的判定方法，题目比较典型，又有综合性，难度不大，解题的关键是正确的添加辅助线，把四边形的问题转化为三角形的问题．巧记1.任意四边形的中点四边形都是平行四边形．2.对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形．拓展类型图形结论矩形中点四边形四边形是菱形菱形的中点四边形四边形矩形正方形的中点四边形四边形是正方形例题12.已知四边形ABCD中，分别是的中点，则四边形EFGH是（）A.菱形B.矩形C.正方形D.梯形【答案】B【解析】【分析】【详解】如图，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF∥AC，同理可得HE∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EF∥AC，AC⊥BD，∴EF⊥BD，∵HE∥BD，∴EF⊥HE，∴∠HEF=90°，∴平行四边形EFGH是矩形．故选B．变式13.顺次连接一个四边形的各边中点得到一个正方形，则这个四边形可能是（）．A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形【答案】D【解析】【分析】利用连接四边形各边中点得到的四边形是正方形，则结合正方形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解．【详解】解：如图点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，且四边形EFGH是正方形．∵点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，且四边形EFGH是正方形．∴EF=EH，EF⊥EH，∴BD=2EF，AC=2EH，EF//BD，EH//AC∴AC=BD，AC⊥BD，即四边形ABCD满足对角线相等且垂直，选项D满足题意．故选：D．【点睛】本题考查了利用三角形中位线定理得到新四边形各边与相应线段之间的数量关系和位置．熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键．变式24.若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是（）A.AB∥CDB.AB⊥BCC.AC⊥BDD.AC＝BD【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线的性质得到EH＝AC，EH∥AC，FG＝AC，FG∥AC，可得四边形EFGH为平行四边形，要得到四边形EFGH为菱形，则EH＝EF，而EF＝BD，所以当AC＝BD时可得到四边形EFGH为菱形．【详解】解：如图，连接AC，BD，点E、F、G、H分别为四边形ABCD各边中点，∴EH＝AC，EH∥AC，FG＝AC，FG∥AC，∴四边形EFGH为平行四边形，当EH＝EF时，四边形EFGH为菱形，又∵EF＝BD，若EH＝EF，则AC＝BD．故选D．【点睛】本题考查了菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形．也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质．变式35.如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是A.当M，N，P，Q是各边中点，四边MNPQ一定为平行四边形B.当M，N，P，Q是各边中点，且时，四边形MNPQ为正方形C.当M，N、P，Q是各边中点，且时，四边形MNPQ为菱形D.当M，N、P、Q是各边中点，且时，四边形MNPQ为矩形【答案】B【解析】【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【详解】解：连接AC、BD交于点O，M，N，P，Q是各边中点，∴，，，，∴，，四边MNPQ一定为平行四边形，A说法正确，不符合题意；时，四边形MNPQ不一定为正方形，B说法错误，符合题意；时，，四边形MNPQ为菱形，C说法正确，不符合题意；时，，四边形MNPQ为矩形，D说法正确，不符合题意.故选B．【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．变式46.如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A.当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形B.当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C.当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB=CD时，四边形EFGH为菱形D.当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可