《概率论与数理统计》总复习资料.doc

《概率论与数理统计》总复习资料概率论部分古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。例1：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝样本空间的样本点总数：=5005事件B包含的样本点：=240，则P(B)=240/5005=0.048例2：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：=5040，设B={能排成一个四位偶数}。若允许千位数为0，此时个位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一，共有5种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选，有种选法；从而共有5=2520个。其中，千位数为0的“四位偶数”有多少个？此时个位数只能在2、4、6、8这四个数字中任选其一，有4种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有种选法；从而共有4=224个。因此=2296/5040=0.456概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。例1：事件A与B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(A－B)，P(AB)解：P(AB)=P(A)P(B)=0.3，P(A－B)=P(A)－P(AB)=0.2，P(AB)=P(A)＋P(B)－P(AB)=0.8例2：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求：P(A－B)，P(AB)，，，解：P(A－B)=0.1，P(AB)=0.8，==3/7，==4/7，==2/3准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。解：设事件表示“顾客买下该箱”，表示“箱中恰好有件次品”，。则，，，，，。由全概率公式得；由贝叶斯公式。4．随机变量及其分布(1)一维离散型例：随机变量的分布律为.1234k2k3k4k确定参数k求概率P(0<X<3)，P(1<X<3)求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数的分布律及期望解：由，有k＋2k＋3k＋4k=1得k=0.1P(0<X<3)=P(X=1)＋P(X=2)=0.3，P(1<X<3)=P(X=2)=0.2=3，=10，D(X)==1Y014P0.30.60.1=1(2)一维连续型例：已知随机变量的概率密度为，确定参数k求概率P(1<X<3)求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数的密度函数及期望解：由=1，有==1，得k=3/8P(1<X<3)===7/8.==3/2，==12/5D(X)==3/20===(3)二维离散型例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为YX012300.050.10.150.210.030.050.050.0720.020.050.10.13求概率P(X<Y)，P(X=Y)求边缘分布律P(X=k)k=0,1,2和P(Y=k)k=0,1,2,3求条件分布律P(X=k|Y=2)k=0,1,2和P(Y=k|X=1)k=0,1,2,3求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求协方差cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关求Z=X+Y，W=max{X，Y}，V=min{X，Y}的分布律解：P(X<Y)=0.7，P(X=Y)=0.2X的分布律X012p0.50.20.3Y的分布律Y0123p0.10.20.30.4X的条件分布律X|Y=2012p1/21/61/3Y的条件分布律Y|X=10123p0.150.250.250.35=0.8，=1.4，D(X)==0.76=2，=5，D(Y)==1=1.64，cov(X,Y)==0.04==0.046相关Z=X＋Y的分布律Z012345p0.050.130.220.30.170.13W=max{X，Y}的分布律W0123p0.050.180.370.4V=min{X，Y}的分布律V012p0.550.220.23(4)二维连续型例：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为，确定常数的值；求概率P(X<Y)求边缘密度，，判断是否相互独立求条件密度，求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求协方差cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关解：由=1，有==1，得c=21/4P(X<Y)==0.85X与Y不独立==0==7/15D(X)==7/15==7/9==7/11D(Y)==28/891==0cov(X,Y)=0，=0，X与Y不相关会用中心极限定理解题。例1