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《概率论与数理统计》总复习资料概率论部分1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。例1：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝9样本空间的样本点总数：nC15=5005135事件B包含的样本点：rC4C5C6=240，则P(B)=240/5005=0.048例2：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？4解：考虑次序.基本事件总数为：A10=5040，设B={能排成一个四位偶数}。若允许千位数为0，此时个位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一，共有5种选法；33其余三位数则在余下的九个数字中任选，有A9种选法；从而共有5A9=2520个。其中，千位数为0的“四位偶数”有多少个？此时个位数只能在2、4、6、8这四个数字中任选其一，有422种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有A8种选法；从而共有4A8=2245A34A2个。因此98P(B)4=2296/5040=0.456A102．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。例1：事件A与B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(A－B)，P(AB)解：P(AB)=P(A)P(B)=0.3，P(A－B)=P(A)－P(AB)=0.2，P(AB)=P(A)＋P(B)－P(AB)=0.8例2：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求：P(A－B)，P(AB)，P(A|B)，P(A|B)，P(A|B)P(AB)P(AB)P(B)P(AB)解：P(A－B)=0.1，P(AB)=0.8，P(A|B)==3/7，P(A|B)==4/7，P(B)P(B)P(B)P(AB)P(AB)P(A|B)==2/3P(B)1P(B)3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。解：设事件A表示“顾客买下该箱”，Bi表示“箱中恰好有i件次品”，i0,1,2。则P(B0)0.8，C44C412，，，19，18。P(B1)0.1P(B2)0.1P(A|B0)1P(A|B1)4P(A|B2)4C205C20192由全概率公式得412；P(A)P(Bi)P(A|Bi)0.810.10.10.94i0519P(B)P(A|B)0.81由贝叶斯公式P(B|A)000.85。0P(A)0.944．随机变量及其分布(1)一维离散型例：随机变量X的分布律为.X1234pk2k3k4k确定参数k求概率P(0<X<3)，P(1<X<3)求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数Y(X3)2的分布律及期望E(X3)2解：由，有＋＋＋得pi1k2k3k4k=1k=0.1iP(0<X<3)=P(X=1)＋P(X=2)=0.3，P(1<X<3)=P(X=2)=0.20x10.11x2F(x)0.32x30.63x41x4，22，22E(X)xipi=3E(X)xipi=10D(X)=E(X)(E(X))=1iiY014P0.30.60.1E(X3)2=1(2)一维连续型kx20x2例：已知随机变量X的概率密度为fx，0其他确定参数k求概率P(1<X<3)求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数YX的密度函数及期望E(X)28解：由f(x)dx=1，有f(x)dx=kx2dxk=1，得k=3/803323P(1<X<3)=f(x)dx=x2dx=7/8.1180x0x3F(x)0x281x22323E(X)xf(x)dx=x3dx=3/2，E(X2)x2f(x)dx=x4dx=12/50808D(X)=E(X2)(E(X))2=3/203y50y2f(y)40其他52362E(X)=xf(x)dx=x2dx=087(3)二维离散型例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为Y0123X00.050.10.150.210.030.050.050.0720.020.050.10.13求概率P(X<Y)，P(X=Y)求边缘分布律P(X=k)k=0,1