《高等代数》知识点梳理.pdf

高等代数知识点梳理第四章矩阵一、矩阵及其运算1、矩阵的概念（）定义：由个数（；）排成行列的数表1s×naiji=1,2,sj=1,2,nsnaa111n，称为行列矩阵，简记为。snA=(aij)s×nas1asn（）矩阵的相等：设，，如果，，且，对2A=(aij)m×nB=(aij)l×km=ln=kaij=biji=1,2,m；j=1,2,n都成立，则称A与B相等，记A=B。（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。2、矩阵的运算aabba+ba+b111n111n11111n1n（1）矩阵的加法：+=。as1asnbs1bsnas1+bs1asn+bsn运算规律：①A+B=B+A③A+O=A②(A+B)+C=A+(B+C)④A+(−A)=Oaakaka111n111n（2）数与矩阵的乘法：k=as1asnkas1kasn运算规律：①(k+l)A=kA+lA③k(lA)=(kl)A②k(A+B)=kA+kB④A+(−A)=Oaabbcc111n111m111m（3）矩阵的乘法：=其中as1asnbn1bnmcs1csm-1-，；。cij=ai1b1i+ai2b2i++ainbnji=1,2,sj=1,2,m运算规律：①(AB)C=A(BC)③(B+C)A=BA+CA②A(B+C)=AB+AC④k(AB)=A(kB)=(kA)B一般情况，①AB≠BA②AB=AC，A≠0，⇒B=C③AB=0⇒A=0或A=0aaaa111n111s（4）矩阵的转置：A=，A的转置就是指矩阵A'=as1asnan1ans运算规律：①(A')'=A③(AB)'=B'A'②(A+B)'=A'+B'④(kA)'=kA'aa111naa111n（5）方阵的行列式：设方阵A=，则A的行列式为||A=。aan1nnaan1nn运算规律：①|A'|=|A|②|kA|=kn|A|③|AB|=|A||B|=|BA|这里A，B均为n级方阵。二、矩阵的逆1、基本概念（1）矩阵可逆的定义：n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，这里E是单位矩阵。aa111n（）伴随矩阵：设是矩阵中元素的代数余子式，矩阵2AijA=aijan1ann-2-AA11n1A*=称为A的伴随矩阵。A1nAnn1、基本性质*−A（1）矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化（|A|≠0），而A1=|A|（2）如果矩阵A，B可逆，那么A'与AB也可逆，且(A')−1=(A−1)'，(AB)−1=B−1A−1。（3）设A是s×n矩阵，如果P是s×s可逆矩阵，Q是n×n可逆矩阵，那么rank(A)=rank(PA)=rank(AQ)三、矩阵分块A0B011对于两个有相同分块的准对角矩阵A=，B=如果它们相0Al0Bl应的分块是同级的，则AB011（1）AB=；0AlBlA+B011（2）A+B=；0Al+Bl（）；3|A|=|A1||A2||Al|−1A10（）可逆的充要条件是可逆，且此时，−1。4AA1,A2,,AlA=−10Al四、初等变换与初等矩阵1、基本概念（1）初等变换：初等行列变换称为初等变换所得到的矩阵。①用一个非零的数乘矩阵的第行（列）记作kiri×k(ci×k)②互换矩阵中，两行（列）的位置，记作ijri↔rj(ci↔cj)-3-③将第行（列）的倍加到第行（列）上，记作称为矩阵的三种初ikjrj+kri(ci+kcj)等行（列）矩阵。（2）初等方阵：单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵。2、基本性质（1）对一个s×n矩阵A作一次初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的s×s初等矩阵；对A作一次初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n×n初等矩阵。10000100（2）任意一个s×n矩阵A都与一形式为0010的等价，它称为矩阵00000000A的标准型，主对角线上1的个数等于A的秩。（3）n级矩阵A为可逆的充分必要条件是，它能表示成一些初等矩阵的乘积。（4）两个s×n矩阵A，B等价的充分必要条件