7．赵角平分线2.doc

角平分线性质（2）【目标导航】掌握角平分线性质判定的应用【预习引领】1、三角形的三条的交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。2、在证明三角形的三条角平分线交于一点时，我们应先假设三角形的条角平分线交于一点，再证明也经过这一点，这样就间接证明了三角形的三条角平分线交于一点。3、如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（）。A、一处B、二处C、三处D、四处【要点梳理】探究：如图，已知∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，若PE=PF，则P点有何位置特征。分析：由于PE⊥OA于E，PE的长表示P到OA的距离，同理由于PF⊥于，PF的长表示P到的距离。又PE=PF，即P到和的距离相等，联想到，角平分线上点到角的两边距离相等，因而想到连结OP，想一想，此时P点在∠AOB的角平分线上吗？（填在或不在），为什么？（请写出证明过程）25例1已知，如图，AB=CD，△PAB和△PCD面积相等，求证：OP平分∠AOC。例2：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等，且P点在∠BAC的角平分线上。分析：由于已知BM平分，从而可知P到边、边距离相等，因而必须作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，得线段=线段。同理：已知平分，从而可知P到边、边距离相等，因此必作PF⊥AC于F。得线段=线段。∴线段=线段=线段。追问：（1）P也在∠BAC的角平分线上吗？。（2）三角形的三条角平分线交于形内点，这点到三边相等。例3：已知如图，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于点E。求证：AE平分∠FAC。[思路分析]只需证明E点到∠FAC两边距离相等即可。（如果用定义证，难以凑效）。而已知条件中有角平分线BE、CE，应考虑用角平分线的性质来证E点到∠FAC两边的距离相等。[总结]证明点在角平分线上，关键是要证明这个点到角的两边距离相等，即证明线段相等，常用的方法有：利用全等三角形、角平分线的性质和利用面积相等，但要特别注意的是点到角的两边的距离。例4：三角形三条角平分线交于一点，且这点到三角形三边距离相等。[方法规律]该结论的证明揭示了三线共点的证明。思路：先设其中的两线交于一点，再证明该点在第三线上。例5：某考古队为进行考古研究，寻找一座古城遗迹，根据史料记载，这座古城在古战道与河流之间且到古战道与河流距离相等，在凤凰山附近且距离雁塔有2000，考古队员很快找到了这座古城的的遗址，你能用学过的知识在图中合理标出古城遗址吗？（比例尺为1：10000如图所示）[思路分析]设古战道与河流交于点O，OA表示河流，OB表示古战道，点C表示雁塔，点D表示凤凰山。以尺规作出∠AOB的平分线OP。以点C为圆心，2长为半径作圆探求M点。【课堂操练】1、已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三边的距离相等。2、如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则（1）△ABE≌△ACF。（2）△BDF≌△CDE。（3）D点在∠BAC的平分线上，以上结论正确的是（）。A只有（1）B只有（2）C只有（1）（2）D只有（1）（2）（3）26【课后巩固】1、如图，等边三角形的三条角平分线交于点I，点I到三个顶点的距离。2、观察上图，可以发现等边三角形三条角平分线、三条高、三条中线，并且三条角平分线的交点到三边距离与到三顶点的距离之比是。3、已知，如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥DC，求证，点C在∠DAB的平分线上。4、如图，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，PC=PD，Q是OP上一点，QE⊥OA于E，QF⊥OB于F，求证：QE=QF。5、已知，如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，ME⊥AD。求证：（1）MB=ME。（2）AM平分∠DAB。6、如图，点P在∠ABC的平分线上，PA⊥AB，PC⊥CB，D为BP上一动点，则AD=CD，∠ADB=∠CDB，为什么？7、已知BP、CP是△ABC的外角平分线，则点P必在∠BAC的平分线上。8、如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于F，EG⊥AC的延长线于G，则BF=CG，为什么？9、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点O，求证：OE=OF。2710、如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE则∠B与∠ADC互补，为什么？11、如图，AM是△ABC的边BC边上的中线，ME，MF分别平分∠AMB、∠AMC，你能判断BE+CF与EF的大小关系吗？为什么？12、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=7，BC=24，AC=25，△ABC内存在一点P到三边距离