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三直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系1．平行关系：线线平行线面平行面面平行2．平行关系的判定定理（1）线线平行的判定定理判定1：判定2：判定3:判定4:(2)线面平行的判定定理：判定1：判定2：（3）面面平行的判定定理：判定1：，判定2：（ii）平行关系的性质定理(1)线面平行的性质定理:(2)面面平行的性质定理:性质定理1:性质定理2:题例1．如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（A）BD∥平面CB1D1（B）AC1⊥BD（C）AC1⊥平面CB1D1（D）异面直线AD与CB1角为60°2．对于任意的直线l与平面,在平面内必有直线m,使m与l(A)平行（B）相交(C)垂直(D)互为异面直线3.如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于A.B.C.D.4．过平行六面体任意两条棱的中点作直线,其中与平面平行的直线共有A．4条B．6条C．8条D．12条5．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．B．C．D．6．设为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若则∥；②若∥∥则∥；③若∥则∥；④若∥则m∥n.其中真命题的个数是（A）1（B）2（C）3（D）47．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，是PC的中点。（1）证明平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值。解：本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。方法一：（1）证明：连结AC、AC交BD于O。连结EO∵底面ABCD是正方形∴点O是AC的中点。在中，EO是中位线∴而平面EDB且平面，所以，平面EDB。（2）解：作交CD于F。连结BF，设正方形ABCD的边长为。∵底面ABCD∴∴F为DC的中点∴底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角。在中，∵∴在中所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设（1）证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。依题意得，，∵底面ABCD是正方形∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为∴∴这表明而平面且平面EDB∴平面EDB（2）解：依题意得，取DC的中点连结EF，BF∵，，∴，∴，∴底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角。在中，，∴所以，EB与底面ABCD所成的角的正切值为。DEPBAC8．如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a,PB=PD=,点E是PD的中点.（I）证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的正切值.解：（Ⅰ）证法一因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.因为所以、、共面.又PB平面EAC，所以PB//平面EAC.证法二同证法一得PA⊥平面ABCD.连结BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.连结OE，因为E是PD的中点，所以PB//OE.又PB平面EAC，OE平面EAC，故PB//平面EAC.（Ⅱ）解作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.又E是PD的中点，从而G是AD的中点，所以9．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点.（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大小；解：方法一解:(Ⅰ)设AC∩BD=0，连结OE，∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE.∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE.(Ⅱ)∵BD⊥AC，BD⊥AF，且AC交AF于A，∴BD⊥平面AE，又因为AM平面AE，∴BD⊥AM.∴AD=,AF=1,OA=1,∴AOMF是正方形，∴AM⊥OF，又AM⊥BD，且OF∩BD=0∴AM⊥平面BDF.（Ⅲ）设AM∩OF=H，过H作HG⊥DF于G，连结AG，由三垂线定理得AG⊥DF，∴∠AGH是二面角A—DF—B的平面角.方法二（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系.设，连接NE，则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,∴NE=(,又点A、M的坐标分别是）、（.∴AM=（∴NE=AM且NE与AM不共线，∴NE∥AM.又∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDF.（Ⅱ）（Ⅲ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，A