邹静君---浅谈直线中关于对称的问题.doc

浅谈直线中关于对称的问题——湖北省钟祥市第三中学邹静君对称问题是解析几何中的基本问题，也是考试的热点问题，由于教材中涉及对称问题的题型较少，同学们对此类问题的解答不是很熟练，下面对此问题作一个简单的归纳，便于大家掌握。对称问题共分以下四类：一、点关于点的对称问题【例1】已知点A（3，5），B（2，1），试求A点关于B点的对称点A′的坐标。【解】设A′点的坐标为（x，y），由中点坐标公式得，解得，所以A′的坐标为（1，－3）【评析】点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式直接得出。点关于点的对称问题是最基本的对称问题，是解答其他对称问题的基础。二、直线关于点的对称问题【例2】求直线L1：3x－y－4＝0关于点P（2，－1）对称的直线L2的方程。【解法一】设直线L2上任一点为（x，y），关于P（2，－1）的对称点（4－x，－2－y）在直线L1：3x－y－4＝0上，∴3（4－x）－（－2－y）＝0∴3x－y－10＝0即为所求直线L2的方程。【解法二】由直线L2与L1：3x－y－4＝0平行，故设直线L2的方程为3x－y＋m＝0。由点P到两直线的距离相等，得，解得m＝－10，或m＝－4（舍去），∴所求直线L2的方程为3x－y－10＝0。【评析】本例的两种解法是求直线L1关于点P（x0，y0）的对称直线L2的常用方法。解法一是在L2上任取一点A（x，y），点A关于点P的对称点A′在直线L1上，通过求得A′点坐标，代入L1方程即可。解法二是由L1与L2是平行的，先设出所要求的直线方程，再由点P到两直线距离相等求得。三、点关于直线的对称问题【例3】求点A（2，2）关于直线L：2x－4y＋9＝0的对称点A′的坐标。【分析】点A关于直线L的对称点A′与A点的中点在直线2x－4y＋9＝0上，且直线AA′与直线L：2x－4y＋9＝0垂直，据此可求A′点坐标。【解】设A′（a，b）是A（2，2）关于直线L：2x－4y＋9＝0的对称点，根据直线AA′与L垂直，线段AA′中点在直线L上，则有，解得，∴所求对称点A′的坐标为（1，4）。【评析】点关于直线的对称问题，要抓住“垂直”和“平分”两个条件，这类问题出现较多，要掌握好此题的解答方法。四、直线关于直线的对称问题【例4】试求直线L1：x－y－2＝0关于直线L：3x－y＋3＝0的对称直线L2的方程。【解法一】由得，∴L1与L的交点为P设所求直线L2的方程为，即由题意L1到L与L到L2的角相等，即，解得k＝－7∴所求直线L2的方程为7x＋y＋22＝0【解法二】在L1上任取一点P（x1，y1），（）设点P关于L的对称点为Q（x′，y′），则，解得又P在L1上，∴x1－y1－2＝0∴，即7x′＋y′＋22＝0∴直线L2的方程为7x＋y＋22＝0【评析】求直线关于直线的对称问题可利用到角公式或转化为点关于直线对称解答。