最短路线问题.doc

最短路线问题湖北赵国瑞“两点之间，线段最短.”这是线段的一条重要性质.运用这个性质，可以解决一些最短线路问题，下面以例说明.例1如图1所示，直线是一条平直的公路，A、B是某公司的两个仓库，位于公路两旁，请在公路上找一点建一货物中转站C，使A、B到C的距离和最小，请找出C的位置并说明理由.解：连结AB与的交点C即为所求，根据两点之间线段最短，要使C到AB的距离和最小，则点C必须在线段AB上，又C点必在直线上，所以C点应是两线的交点.图1例2如图2，在平原上有A、B、C、D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定水池M点的位置，使它与四个村庄的距离之和最小.解：连结AC、BD交于点M，则点M即为所求.理由：设N是异于M的另一点，连结AN、BN、CN、DN，由两点之间线段最短可得：AN+CN＞AC，BN+DN＞BD，相加，得AN+CN+BN+DN＞AC+BD，即AN+CN+BN+DN＞AM+CM+BM+DM.图2所以AM+CM+BM+DM最短.例3某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区.A区有30人，B区有15人，C区有10人.三个区在同一条直线上，位置如图3所示.该公司的接送车打算在此间设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）.图3（A）A区（B）B区（C）C区（D）A，B两区之间析解：本题既要依据“两点之间线段最短”确定停车地点，又要顾及A、B、C三个住宅区的居住人数.因此解答此题应有两种思路：一种思路着眼于居住人数，凡人数最多的居住区应为停靠点的最佳位置，这样才能保证所有员工步行到停靠点的路程之和最小；另一种思路分四种情况求它们的路程之和，然后比较它们的路程的大小，从而确定所选的停车点位置应选（A）.例4如图3（1），一个圆柱形的柱子，一只小蚂蚁由圆柱的一条高线AB的最底端B点沿侧面转圈爬到顶端A点，问小蚂蚁怎样走路线最短？析解：即是求最短路线，可利用“两点之间线段最短”，而路线又过侧面，所以应从展开图3（2）来找路线.小蚂蚁应沿侧面展开图中AB间的线段爬行路线最短.图（1）图（2）