异面直线所成的角(教师版).doc

广东北江中学高二数学补充讲义：立体几何第页，共NUMPAGES4页基础过关异面直线所成的角（教师版）求两条异面直线所成角的步骤：(1)；(2)；(3)；答案：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义；(3)求角．一．例题与课堂练习题1．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝，求AD、BC所成角的大小．解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中EF＝FG＝EG＝1∴∠EGF＝120°∴AD与BC成60°的角。题2．S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，BMANCS且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN则QN∥SM∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ，设SC＝a，在△BQN中BN＝NQ＝SM＝aBQ＝∴COS∠QNB＝题3．正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．求异面直线SA和EF所成角．答案：45°题4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，ACBNMA1C1B1若BC＝CA＝CC1，求NM与AN所成的角．解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG，易证∠GNA就是BM与AN所成的角．设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝，GN＝B1M＝，cos∠GNA＝。题5．如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点．求与所成的角。证明：取AB中点G，连结A1G，FG，因为F是CD的中点，所以GF∥AD，又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,即直线AE与D1F所成的角为直角。B(图1－28)AABCDCDFE题6．如图1—28的正方体中，E是A′D′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线?(2)求直线BA′和CC′所成的角的大小；(3)求直线AE和CC′所成的角的正切值；(4)求直线AE和BA′所成的角的余弦值解：(1)∵A平面BC′，又点B和直线CC′都在平面BC′内，且BCC′,∴直线BA′与CC′是异面直线同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC、AD、B′C′所在的直线都和直线BA′成异面直线(2)∵CC′∥BB′，∴BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角∵∠A′BB′=45°∴BA′和CC′所成的角是45°(3)∵AA′∥BB′∥CC′，故AE和AA′所成的锐角∠A′AE是AE和CC′所成的角在Rt△AA′E中，tan∠A′AE＝＝，所以AE和CC′所成角的正切值是(4)取B′C′的中点F，连EF、BF，则有EFABAB,∴ABFE是平行四边形，从而BFAE,即BF∥AE且BF=AE.∴BF与BA′所成的锐角∠A′BF就是AE和BA′所成的角ABFM(图1－29)设正方体各棱长为2，连A′F，利用勾股定理求出△A′BF的各边长分别为A′B＝2，A′F＝BF＝，由余弦定理得：cos∠A′BF＝【说明】(1)如图1—29，单独画出△ABF，使图中线段与角的数量关系较直观图中清楚，使计算更为方便和准确，这是立体几何中常用的重要方法；(2)解法中用余弦定理求cos∠ABF,其实有更简单方法，请找出简单方法(3)如果用余弦定理求出角的余弦值为负数，应如何写答案?异面直线所成的角的作业班级：姓名：学号：判断是非(下列命题中，正确的打“√”，错误的打“×”)(1)梯形的四个顶点在同一平面内；(2)对边相等的四边形是平行四边形；(3)平行于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一直线的两直线平行；(5)两条直线确定一个平面；(6)经过三点可以确定一个平面；(7)无公共点的两直线异面；(8)两异面直线无公共点；(9)两异面直线可以同时平行于一直线；(10)两异面直线可以同时垂直于一直线；(11)不同在一个已知平面内的两直线异面；(12)互相垂直的两条直线必可确定一平面案案：(1)(3)(8)(10)正确，其余错；选择题1.没有公共点的两条直线的位置关系是()(A)平行(B)异面(C)平行或异面(D)不能确定2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是()(A)异面(B)平行(C)平行或异面(D)平行或异面或相交3.两条异面直线指的是()(A)在空间不相交的两条直线(B)某一平面内的一条直