选修2-2_153_定积分的概念.ppt

1．5.3定积分的概念通过求曲边梯形的面积、汽车行驶的路程，了解定积分的背景，借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定义求简单的定积分．本节重点：定积分的定义与性质．本节难点：定积分定义的理解．1．定积分定义中①关于区间[a，b]的分法是任意的，不一定是等分，只要保证每一个小区间的长度都趋向于0就可以，采用等分的方式是为了便于作和．②关于ξi的取法也是任意的，实际在用定积分的定义计算定积分时为了方便，常把ξi都取为每个小区间的左(或右)端点．2．定积分的几何意义即由直线x＝a，x＝b，x轴和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积．从定积分的几何意义不难理解定的积分性质，即曲边梯形面积的和与差．1．定积分的概念定积分的性质①②称为定积分的线性性质．定积分的性质③称为定积分对积分区间的可加性，这个性质表明：求f(x)在区间[a，b]上的定积分，可以通过f(x)在区间[a，c]与[c，b]上的定积分去实现．[点评]求定积分的四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限，关键环节是求和．体现的基本思想就是先分后合，化曲为直，通过取极限，形成整体图形的面积．[分析]由于所给定积分为曲线y＝x3＋3x与x＝－1，x＝1及y＝0围成的曲边梯形面积，故由定义可求，但注意被积函数及积分上、下限特点可采用几何意义解决．[解析]∵y＝x3＋3x为[－1,1]上的奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方部分面积与在x轴下方部分面积相等，由积分的几何意义知(x3＋3x)dx＝0.[点评]当曲边梯形在x轴下方时，积分值为负，在x轴上方时，积分值为正，故定积分的几何意义是在区间[a，b]上，曲线与x轴所围成图形的面积的代数和．[解析](1)由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：[分析]由题目可获取以下主要信息：①被积函数形式上较为复杂；②积分的上、下限明确；解答本题可先根据积分的几何意义求出相关函数的定积分，再根据定积分的性质进行加减运算．[解析](1)如图，[例4]利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．[点评]用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是：(1)准确画出各曲线围成的平面区域；(2)把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x轴下方有没有区域；(3)解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限；(4)根据积分的性质写出结果．一、选择题1．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为()A．[0，e2]B．[0,2]C．[1,2]D．[0,1][答案]B2．下列式子中不成立的是()[答案]C[答案]C[解析]由积分的几何意义可知选C.[答案](1)>(2)<(3)<[解析]根据定积分的几何意义，结合图形可得大小关系．