二次方程讲义.doc

1、一元二次方程的定义一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：，为二次项系数，为一次项系数，为常数项．2、一元二次方程的判别式与公式法：设一元二次方程为，其根的判别式为：，是方程的两根，则：⑴方程有两个不相等的实数根．⑵方程有两个相等的实数根．=3\*GB2⑶方程没有实数根．3、可化为一元二次方程的特殊方程：①解方程的基本思想：化分式方程为整式方程；化高次方程为一次或二次方程；化多元为一元；化无理方程为有理方程。总之：最后转化为一元一次方程或一元二次方程．②解方程的基本方法：解整式方程：一般采用消元(加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等)，降次(换元降次、因式分解降次、辅助式降次等)等方法．解分式方程：一般采用去分母、换元法、重组法、两边夹等方法．一元二次方程的认识⑴要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是．⑵任何一个关于的一元二次方程经过整理都可以化为一般式．要特别注意对于关于的方程，当时，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程．⑶关于的一元二次方程式的项与各项的系数．为二次项，其系数为；为一次项，其系数为；为常数项．一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到，显然只有当时，才能直接开平方得：．也就是说，一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实数根．这里叫做一元二次方程根的判别式．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况(是否有实数根)由确定．判别式：设一元二次方程为，其根的判别式为：则①方程有两个不相等的实数根．②方程有两个相等的实数根．③方程没有实数根．若，，为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时是的整数倍，则方程的根为整数根．说明:(1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，;有两个相等的实数根时，;没有实数根时，．(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根．①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点．一元二次方程的根的判别式的应用：一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：(1)运用判别式，判定方程实数根的个数；(2)利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；(3)通过判别式，证明与方程相关的代数问题；(4)借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．如果一元二次方程（）的两根为那么，就有比较等式两边对应项的系数，得①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性．在的条件下，我们有如下结论：当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值．当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．⑴韦达定理：如果的两根是，，则，．(隐含的条件：)⑵若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地：①，②且，③且，特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．⑶以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：．⑷其他：若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)．若，则方程必有实数根．若，方程不一定有实数根．若，则必有一根．若，则必有一根．⑸韦达定理主要应用于以下几个方面：已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；已知方程的两根，求作方程；结合根的判别式，讨论根的符号特征；逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．