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2.2角的概念的推广

一、素质教育目标
(一)知识教学点
1.推广角的概念,引入大于360°的角和负角.
2.正角、负角、零角的定义.
3.象限角概念.
4.终边相同的角的表示法.
(二)能力训练点
1.理解并掌握正角、负角、零角定义.
2.重点掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法.
3.树立运动变化观点,深刻理解推广后的角的概念.
二、教学重点、难点、疑点及解决办法
1.教学重点:理解正角、负角、零角的定义,掌握终边相同角的表示法.
2.教学难点:终边相同的角的表示.
3.教学疑点:区别并理解角的大小与角的终边位置不同表示方法的含义.
三、课时安排
本课题安排1课时.
四、教与学过程设计
(一)复习0°~360°角的概念
师:我们已经学习了0°~360°的角,它是如何定义的?
生:角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成.
师:我们进一步复习角有关的概念.如图2-1,一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB,就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角α的始边,旋转终止的射线OB叫做角α的终边,射线的端点O叫做角α的顶点.



(二)角概念的推广
师:在日常生活中,在生产和科学实验中,还要经常遇到大于360°的角以及按不同方向旋转而成的角,你们能否举出实例说明?生甲:在自行车的车轮按逆时针旋转一周过程中,OA形成了0°到360°的所有角;在车轮继续旋转第二周过程中,又形成了360°到720°的所有的角;这样下去,可以形成更大的角(如图2-2示).






生乙:钟表的指针、螺丝扳手与曲柄连杆按不同方向旋转所成的角.
师:同学们举出的实例说明了它们的实际意义和推广角概念的必要性.为了区别起见,我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角,如图2-3示:以OA为始边的角α=210°,β=-150°,γ=-660°.特别地,当一条射线没有作任何旋转时,我们也认为这时形成了一个角,并把这个角叫做零角.角的概念推广以后,它包括任意大小的正角、负角和零角.要注意,正角和负角是表示具有相反意义的旋转量,它的正负规定纯系习惯,就好象与正数、负数的规定一样,零角无正负,就好象数零无正负一样.
(三)象限角
师:正象在上一小节所做的那样,我们主要在直角坐标系内讨论角.这时要使角的顶点与坐标原点重合,角的始边在x轴的正半轴上,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角(或说这个角属于第几象限).
如图2-4(1)中的30°,390°,-330°都是第一象限角;图2-4(2)中的300°,-60°的角都是第四象限的角.







练习一:1.锐角是第几象限的角?第一象限的角是否都是锐角?小于90°的角是锐角吗?0°~90°的角是锐角吗?
(答:锐角是第一象限角;第一象限角不一定是锐角;小于90°的角可能是零角或负角,故它不一定是锐角;0°~90°的角可能是零角,故它也不一定是锐角.)
师总结有关角的集合表示.锐角:θ|0°<θ<90°,0°~90°的角:{θ|0°≤θ≤90°};小于90°角:{θ|θ<90°}.2.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在x轴的正半轴上,作出下列各角,并指出它们是哪个象限的角?
(1)420°,(2)-75°,(3)855°,(4)-510°.
(答:(1)第一象限角,(2)第四象限角,(3)第二象限角,(4)第三象限角,作图表示略.)
(四)终边相同的角的表示法
师:让我们再来观察图2-4(1)中的三个角,390°,-330°都不是0°~360°的角,但它们都与30°角的终边相同,请同学们思考为什么?能否再举二个与30°同终边的角?
生:由图中我们可发现390°,-330°与30°相差360°的整数倍,例如,390°,-330°可以分别写成下列形式:390°=360°+30°,-330°=-360°+30°,与30°同终边的角还有如750°,-690°.

师:这位同学发现两个同终边角的特征,如举例的750°,-690°可分别写成750°=2×360°+30°,-690°=-2×360°+30°.显然除了这些角之外,与30°的角终边相同的角还有:
3×360°+30°;-3×360°+30°;
4×360°+30°;-4×360°+30°;
……;……;
提问:所有与30°的角终边相同的角,连同30°的角在内,如何用统一的式子来表示?
生:我们可以用k·360°+30°,(k∈Z)来表示所有与30°的角终边相同的角,当k=0时,它表示30°的角;当k=1时,它表示390°的角;当k=-1时,它表示-330°的角,等等.
师:现在我们总结已得到的结果并推广到一般情形.一般地,所有与α角终边相同的角,连同α角在内(而且有且只有这样的角
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