第二章 傅立叶变换.ppt

第二章傅立叶变换§2.1引言本章从傅立叶级数，正交函数展开问
题开始讨论，引出傅立叶变换，建立信号
频谱的概念通过对典型信号频谱及傅立叶
变换性质的研究，掌握基本的傅立叶分析
方法的应用。§2.2周期信号的傅立叶分析(式2－1)余弦分量的幅度可以取(1)在一周期内，没有间断点，如果有间断
点，其数目应是有限个。
(2)在一周期内，极大值和极小值的数目应
是有限个。
(3)在一周期内，信号f(t)是绝对可积的，即将式2-1中同频率项加以合并，可以写出另
一种形式。(式2-7)也就是可以分解成直流分量及许多余弦
分量和正弦分量。通常把频率为f1（与
周期函数同频率）的分量称为基波（分
量）频率为2f1，3f1……分别称为二次
谐波（分量），三次谐波（分量）……
等等。
所以一般称图2-1为信号的幅度频谱简称为
幅度谱。其中图中每条线代表某一频率分量
的幅度，简称谱线。连接各谱线顶点的虚曲
线称为包络线，它反映了各分量幅度随
变换的情况。类似地，还可画出各分量的相
位对的线图(如图2-1b)，我们称为相
位简称为相位谱。由图看出，周期信号频谱的每条谱线
只会出现在等整数离散频率点
上称这种频谱为离散谱，这是周期信号频
谱的主要特点。代入上式得到令其中为指数傅立叶级数的系数，将
,代入其中n为从-∞到+∞的整数(式2-11)图2-2讨论：三周期信号的功率特性其中为常数，如果＝1，有(式2-12)四函数的对称性与傅立叶系数的关系这样在一个对称周期内求级数系数为：以上结果由于为偶函数，
为奇函数，在一个对称区间
积分，偶函数为半区间积分的2倍，奇函
数积分为零。
由此得到其它系数的结果：傅立叶级数中不含有正弦项，只含有直流项
和余弦项。2奇函数所以，奇函数的Fn为虚数，奇函数的
傅立叶中不含有余弦项，只含有正弦项。
有时奇函数叠加一个直流分量，虽然
不是奇函数，但该函数等于奇函数加一个
常数（直流分量），分解后仍然不包含余
弦项，例如图2-5为周期锯齿奇函数信号
其傅立叶级数展开式如下3奇谐函数称该函数为半波对称函数也称奇谐函数。
由定义看出，该函数的级数中的直流分量
a0必然为零。由于如图2-6§2.3典型周期信号的傅立叶级数此信号在一个周期内的表
达式为：余弦分量为由于f(t)为偶函数，所以所以图2-8(a)(b)分别画出幅度频谱和相位频
谱，由于cn为实数，可以把幅度谱和相位谱
合画成一副图，如图2-8(c)，用Fn可以画出
复数频谱，如图2-8(d)。图2-8(2)由c0,cn可知直流分量基波及各谐波分量
大小正比于脉冲幅度E和脉冲宽度τ，而反
比于周期T1。
谱线的幅度按包络线的规律变化，即按在允许一定失真的条件下，经常把0到
第一个零点频率之间的宽度，定为周期矩
形脉冲的频谱的宽度，即用符号Bω和
Bf表示，即加大，则减小，这样谱线间间隔变密。§2.4傅立叶变换为了研究这具有限能量信号，即非周期
信号的频谱及各分量的相对大小，采用了频
谱密度函数的概念。图2-9其系数即频谱为(式2-13)其中表示单位频带的频谱值，即定
义为频谱密度函数，所以F(ω)称为原函数
f(t)的频谱密度函数（简称频谱函数）（式2-14）所以其傅立叶级数变成积分形式，即傅立叶正变换位函数，它表示信号中各频谱分量之间的
相位关系，所以称为幅度频谱，
相位频谱，如图2-9,和都是频率ω
的连续函数，其形状与相应的周期信号频
谱包络线相同，并且是ω的偶函数，
是ω的奇函数。因为f(t)是实函数为ω的偶函数。
为ω的奇函数，上式第二项为零。上式可写成可见，非周期信号和周期信号一样，也可以
分解为许多不同频率的正、余弦分量。
所不同的是非周期信号由于周期趋于无
限大，而各频率的分量幅度趋于无限
小，所以其频谱改用频谱密度函数表示§2.5典型非周期信号的傅立叶变换得幅度谱图2-10二双边指数信号幅度谱为三矩形脉冲信号其幅度谱为由此可见，矩形脉冲信号其能量在时域集中
在有限范围内，但其频谱函数以
的规律变化，分布在无限宽的频率范围上，
但信号能量主要集中在（或
）范围，所以通常认为这种信号占用频率范
围（频带）B近似为1/τ（或2π/τ）即四钟形脉冲信号查积分表得五升余弦信号上式化简得到由上图看出，升余弦脉冲的频谱比矩形的
频谱更加集中，其绝大部分能量集中在
范围内。§2.6典型奇异函数的频谱1冲激函数的傅立叶变换2冲激函数傅立叶逆变换二冲激偶函数的傅立叶变换同理可得：三阶跃函数的傅立叶变换那么其频谱为，当时，极限函数的
频谱即为阶跃函数的频谱。可见是一个冲激函数，求其曲线下面积
即强度。所以得阶跃函数得傅立叶变换为其幅度谱为四符号函数的傅立叶变换其幅度谱为图2-17§2.7傅立叶变换的基本性质一线性性质又如果f(t)是偶函数例2：求函数的傅立叶变换三反转性质四时移