您所在位置: 网站首页 / 泊松公式的解.doc / 文档详情
泊松公式的解.doc 立即下载
2024-08-16
约2.1千字
约6页
0
234KB
举报 版权申诉
预览加载中,请您耐心等待几秒...

泊松公式的解.doc

泊松公式的解.doc

预览

免费试读已结束,剩余 1 页请下载文档后查看

10 金币

下载文档

如果您无法下载资料,请参考说明:

1、部分资料下载需要金币,请确保您的账户上有足够的金币

2、已购买过的文档,再次下载不重复扣费

3、资料包下载后请先用软件解压,在使用对应软件打开

圆和半平面上的迪利希莱(Dirichlet)问题
—泊松积分公式
在第二章的中,我们曾讨论过调和函数与解析函数之间的密切联系.在这一节中,我们将继续阐述这种联系.
具有物理应用的一类重要的数学问题是迪利希莱(Dirichlet)问题,即要找一个未知函数,它在某个区域内是调和的,而且在这个区域的边界上取得预先指定的值.例如,一半径为1的圆柱体充满导热的物质.我们知道,圆柱体内的温度是由调和函数T(r,)来描述的.若圆柱体表面的温度是已知的,是由sincos所给定的,由于T(r,)在0≤r≥1,0≤≥2上是连续的,因此,我们的问题是要求一个单位圆上的调和函数T(r,),使得T(1,)=sincos.这就是我们所要解的迪利希莱问题.
我们刚才所讨论的迪利希莱问题,其边界是简单的几何形状,如在大多数关于偏微分方程的教科书中所述的,通常用变量分离法来解,对更复杂的形状,有时要用共形映照的方法.这种方法将在以后讨论.在这节里,我们只讨论区域的边界是圆周或无限直线的情况.
一.圆的迪利希莱问题
对解边界为圆周的迪利希莱问题,柯西积分公式是有帮助的.考虑z-复平面上半径为R,中心为原点的圆.设f(z)是在圆周=R上及其内解析的函数.
对这函数f(z)和这圆周应用柯西积分公式,对圆内的任何一点z,我们有
f(z)=dw.(2-25)
令z=,它位于过圆点和点z的射线上,且=>R,因此,位于圆R的外部.于是,由柯西定理,我们有
0=dw=.(2-26)
将式(2-25)与式(2-26)的两边分别相减,我们获得
f(z)=(2-27)
令w=Re,z=re,于是.将它们代入(2-27)式,我们有
f(z)=.
将分子和分母同时乘以,则
分子=R,
分母=(Re,
于是,最后我们有
f(z)=
现将解析函数f(z)表示成其实部U和V,于是,
f(re,f(Re,上述方程成为
U(r,
由于这个方程两边的实部必相等,于是我们得到下列泊松(Poisson)公式
U(r,(2-28)
对V(r,与V(R,,我们也有类似的公式.
泊松积分公式(2-28)是重要的.这个公式告诉我们:当U在圆周上的取值U(R,已知时,则调和函数U(r,在这圆内任意一点的值由公式(2-28)所给出.
由于我们要求f(z)在这半径为R的圆周上及其内部是解析的,因此读者必须假定方程(2-28)中的函数U(R,是连续的.事实上,这条件可放宽成允许U(R,有有限个“跳跃的”不连续点,泊松公式仍成立.
例设一根半径为1的导电的管子被无限裂缝分成两半.上半管(R=1,0<<)保持1伏特的电位,下半管(R=1,)保持-1伏特的电位.求在管内任何一点(r,)的势.
解由于电位势是个调和函数,因此泊松公式是可用的.由公式(2-28),R=1,我们有
U(.(2-29)
在每个积分中,我们作变数变换x=,并利用下述积分公式
.(2-30)
取a=1+r,b==-2r,我们得到
U(r,.
由于反正切函数是多值函数,在应用这个公式时,必须取适当的单值支,使得U(r,对一切r<1是连续的和U(1,仅在裂缝=0和时是不连续的.
二.对于半平面的迪利希莱问题
我们的问题是要在上半平面上求一个函数,使得它在上半平面(>0的区域)上是调和的,而在实数轴=0上必须满足欲先给定的边界条件.
设在上是解析的.考虑闭围道,它由半径为R的上半圆周和实数轴上的线段所组成.令z是C內任何一点,由柯西积分公式,我们有
.(2-32)
由于z位于上半平面,则必位于下半平面,因此,它必在C的外部.于是,据柯西定理,有
.(2-33)
将(2-32)式和(2-33)式的两边分别相减,我们获得

=.
令z=x+iy,则.上式右端的第二个积分I等于
.(2-35)
记(2-34)右端的第一个积分为I,在上,我们有

若在上半平面v上,则得.于是,对任意给定的点z,我们有
.(2-36)
由于(2-34)式对任何C都是成立的,因此,我们有
.
将f(z)和f(w)用它们的实部和虚部来表示
f(z)=,f(w)=,由(2-37)式,我们有
=
于是,取实部,我们既得对上半平面的泊松积分公式:
(2-38)
关于与也有相似的公式.
当在整个实数轴上的值完全已知时,泊松积分公式(2-38)给出了调和函数在上半平面内每一点的值.我们能证明,在上半平面上有界的迪利希莱问题的解是唯一的.若没有这个限制,还能找到其他的解.在我们的推导过程中,我们假定,是在闭上半平面上解析的函数f(u,v)的实部,这要求方程(2-38)中的函数对<u<+是连续的.事实上,这个要求可以放松,若有有限多个跳跃点(既第一类不连续点),方程(2-38)仍然是成立的.
例上半空间充满着导热的物质.在边界v=0,u>0上,温度保持在0,而在边界v=0,u<0,上,温度保持在.求整
查看更多
单篇购买
VIP会员(1亿+VIP文档免费下)

扫码即表示接受《下载须知》

泊松公式的解

文档大小:234KB

限时特价:扫码查看

• 请登录后再进行扫码购买
• 使用微信/支付宝扫码注册及付费下载,详阅 用户协议 隐私政策
• 如已在其他页面进行付款,请刷新当前页面重试
• 付费购买成功后,此文档可永久免费下载
全场最划算
12个月
199.0
¥360.0
限时特惠
3个月
69.9
¥90.0
新人专享
1个月
19.9
¥30.0
24个月
398.0
¥720.0
6个月会员
139.9
¥180.0

6亿VIP文档任选,共次下载特权。

已优惠

微信/支付宝扫码完成支付,可开具发票

VIP尽享专属权益

VIP文档免费下载

赠送VIP文档免费下载次数

阅读免打扰

去除文档详情页间广告

专属身份标识

尊贵的VIP专属身份标识

高级客服

一对一高级客服服务

多端互通

电脑端/手机端权益通用