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圆和半平面上的迪利希莱(Dirichlet)问题 —泊松积分公式 在第二章的中,我们曾讨论过调和函数与解析函数之间的密切联系.在这一节中,我们将继续阐述这种联系. 具有物理应用的一类重要的数学问题是迪利希莱(Dirichlet)问题,即要找一个未知函数,它在某个区域内是调和的,而且在这个区域的边界上取得预先指定的值.例如,一半径为1的圆柱体充满导热的物质.我们知道,圆柱体内的温度是由调和函数T(r,)来描述的.若圆柱体表面的温度是已知的,是由sincos所给定的,由于T(r,)在0≤r≥1,0≤≥2上是连续的,因此,我们的问题是要求一个单位圆上的调和函数T(r,),使得T(1,)=sincos.这就是我们所要解的迪利希莱问题. 我们刚才所讨论的迪利希莱问题,其边界是简单的几何形状,如在大多数关于偏微分方程的教科书中所述的,通常用变量分离法来解,对更复杂的形状,有时要用共形映照的方法.这种方法将在以后讨论.在这节里,我们只讨论区域的边界是圆周或无限直线的情况. 一.圆的迪利希莱问题 对解边界为圆周的迪利希莱问题,柯西积分公式是有帮助的.考虑z-复平面上半径为R,中心为原点的圆.设f(z)是在圆周=R上及其内解析的函数. 对这函数f(z)和这圆周应用柯西积分公式,对圆内的任何一点z,我们有 f(z)=dw.(2-25) 令z=,它位于过圆点和点z的射线上,且=>R,因此,位于圆R的外部.于是,由柯西定理,我们有 0=dw=.(2-26) 将式(2-25)与式(2-26)的两边分别相减,我们获得 f(z)=(2-27) 令w=Re,z=re,于是.将它们代入(2-27)式,我们有 f(z)=. 将分子和分母同时乘以,则 分子=R, 分母=(Re, 于是,最后我们有 f(z)= 现将解析函数f(z)表示成其实部U和V,于是, f(re,f(Re,上述方程成为 U(r, 由于这个方程两边的实部必相等,于是我们得到下列泊松(Poisson)公式 U(r,(2-28) 对V(r,与V(R,,我们也有类似的公式. 泊松积分公式(2-28)是重要的.这个公式告诉我们:当U在圆周上的取值U(R,已知时,则调和函数U(r,在这圆内任意一点的值由公式(2-28)所给出. 由于我们要求f(z)在这半径为R的圆周上及其内部是解析的,因此读者必须假定方程(2-28)中的函数U(R,是连续的.事实上,这条件可放宽成允许U(R,有有限个“跳跃的”不连续点,泊松公式仍成立. 例设一根半径为1的导电的管子被无限裂缝分成两半.上半管(R=1,0<<)保持1伏特的电位,下半管(R=1,)保持-1伏特的电位.求在管内任何一点(r,)的势. 解由于电位势是个调和函数,因此泊松公式是可用的.由公式(2-28),R=1,我们有 U(.(2-29) 在每个积分中,我们作变数变换x=,并利用下述积分公式 .(2-30) 取a=1+r,b==-2r,我们得到 U(r,. 由于反正切函数是多值函数,在应用这个公式时,必须取适当的单值支,使得U(r,对一切r<1是连续的和U(1,仅在裂缝=0和时是不连续的. 二.对于半平面的迪利希莱问题 我们的问题是要在上半平面上求一个函数,使得它在上半平面(>0的区域)上是调和的,而在实数轴=0上必须满足欲先给定的边界条件. 设在上是解析的.考虑闭围道,它由半径为R的上半圆周和实数轴上的线段所组成.令z是C內任何一点,由柯西积分公式,我们有 .(2-32) 由于z位于上半平面,则必位于下半平面,因此,它必在C的外部.于是,据柯西定理,有 .(2-33) 将(2-32)式和(2-33)式的两边分别相减,我们获得 =. 令z=x+iy,则.上式右端的第二个积分I等于 .(2-35) 记(2-34)右端的第一个积分为I,在上,我们有 若在上半平面v上,则得.于是,对任意给定的点z,我们有 .(2-36) 由于(2-34)式对任何C都是成立的,因此,我们有 . 将f(z)和f(w)用它们的实部和虚部来表示 f(z)=,f(w)=,由(2-37)式,我们有 = 于是,取实部,我们既得对上半平面的泊松积分公式: (2-38) 关于与也有相似的公式. 当在整个实数轴上的值完全已知时,泊松积分公式(2-38)给出了调和函数在上半平面内每一点的值.我们能证明,在上半平面上有界的迪利希莱问题的解是唯一的.若没有这个限制,还能找到其他的解.在我们的推导过程中,我们假定,是在闭上半平面上解析的函数f(u,v)的实部,这要求方程(2-38)中的函数对<u<+是连续的.事实上,这个要求可以放松,若有有限多个跳跃点(既第一类不连续点),方程(2-38)仍然是成立的. 例上半空间充满着导热的物质.在边界v=0,u>0上,温度保持在0,而在边界v=0,u<0,上,温度保持在.求整

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