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椭圆及其性质
1.方程表示椭圆>0，>0，且≠；是，中之较大者，焦点的位置也取决于，的大小。
[举例]椭圆的离心率为，则=
解析：方程中4和哪个大哪个就是，因此要讨论；（ⅰ）若0<<4,则，∴，∴==，得=3；（ⅱ）>4,则，∴，∴==，得=；综上：=3或=。
[巩固]若方程：x2+ay2=a2表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆，则a的允许值的个数是
A1个B.2个C.4个D.无数个
2．椭圆关于x轴、y轴、原点对称；P(x,y)是椭圆上一点，则|x|≤a,|y|≤b，
a-c≤|PF|≤a+c，（其中F是椭圆的一个焦点），椭圆的焦点到短轴端点的距离为a，椭圆的焦准距为，椭圆的通经(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2，通经是过焦点最短的弦。
[举例1]已知椭圆（>0,>0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若
BF⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为。
解析：|AB|2=2+2，|BF|=，|FA|=+，在Rt⊿ABF中，(+)2=2+2+2
化简得：2+-2=0，等式两边同除以2得：，解得：=。
注：关于,，的齐次方程是“孕育”离心率的温床。
[举例2]已知椭圆（>0,>0）的离心率为，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转后，所得的新的椭圆的一条准线的方程为=，则原来椭圆的方程是。
解析：原来椭圆的右焦点为新椭圆的上焦点，在x轴上，直线=为新椭圆的上准线，故新椭圆的焦准距为，∴原来椭圆的焦准距也为，于是有：=①，
=②，由①②解得：=5，=3。
[巩固1]一椭圆的四个顶点为A1，A2，B1，B2，以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点，的椭圆的离心率为。
[巩固2]在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为
(A)(B)(C)(D)
[迁移]椭圆上有n个不同的点P1，P2，P3，…，Pn，椭圆的右焦点F，数列{|PnF|}
是公差大于的等差数列，则n的最大值为（）
A．198B．199C．200D．201
3.圆锥曲线的定义是求轨迹方程的重要载体之一。
[举例1]已知⊙Q：(x-1)2+y2=16,动⊙M过定点P(-1,0)且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是：
。
解析：P(-1,0)在⊙Q内，故⊙M与⊙Q内切，记：M(x,y)，⊙M的半径是为r，则：
|MQ|=4-r，又⊙M过点P，∴|MP|=r，于是有：|MQ|=4-|MP|，即|MQ|+|MP|=4，可见M点的轨迹是以P、Q为焦点（c=1）的椭圆，a=2。
[举例2]若动点P（x,y）满足|x+2y-3|=5，则P点的轨迹是：
A．圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线
解析：等式两边平方，化简方程是最容易想到的，但不可行，一方面运算量很大，另一方面是平方、展开后方程中会出现xy项，这就给我们判断曲线类型带来了麻烦。但是，仔细观察方程后，就会发现等式左边很“象”是点到直线的距离，而等式右边则是两点间的距离的5倍；为了让等式左边变成点到直线的距离，可以两边同除以，于是有：
=，这就已经很容易联想到圆锥曲线的第二定义了，
只需将方程再变形为：，即动点P（x,y）到定点A（1，2）与到定直线x+2y-3=0的距离之比为，∴其轨迹为椭圆。
[巩固1]已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为.
[巩固2]设x、y∈R，在直角坐标平面内，=(x,y+2),=(x,y-2),且||+||=8，则点
M(x,y)的轨迹方程为。
[提高]已知A（0，7），B（O，-7），C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，则椭圆的另一焦点的轨迹方程为。
[迁移]P为直线x-y+2=0上任一点，一椭圆的两焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），则椭圆过P点且长轴最短时的方程为。
4．研究椭圆上的点到其焦点的距离问题时，往往用定义；会推导并记住椭圆的焦半径公式。
[举例1]如图把椭圆的长轴AB分成8分，过
每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于,,……
七个点，F是椭圆的一个焦点，则____________．
解析：P1与P7，P2与P6，P3与P5关于y轴对称，P4在y轴上，
记椭圆的另一个焦点为F/，则|P7F|=|P1F/|，|P6F|=|P2F/|，|P5F|=|P3F/|，
于是|P1F|+|P1F/|+|P2F|+|P2F/|+|P3F|+|P3F/|+|P4F|=7a=35.
[举例2]已知A、B是椭圆上的两点，F2是椭圆的右焦点，如果AB的中点到椭圆左准线距离为，则椭圆的方程.
解析：==，
记AB的中点为M，A、B、M在椭圆左准线上的射影分别为A1、B1，M1，由椭圆第二定义知：|AF1|=e|AA1|，|BF1|=e|BB1|，于是有：e（|AA1|+|BB1|）=，而e=
∴|AA1|+|BB1