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椭圆及其性质 1.方程表示椭圆>0,>0,且≠;是,中之较大者,焦点的位置也取决于,的大小。 [举例]椭圆的离心率为,则= 解析:方程中4和哪个大哪个就是,因此要讨论;(ⅰ)若0<<4,则,∴,∴==,得=3;(ⅱ)>4,则,∴,∴==,得=;综上:=3或=。 [巩固]若方程:x2+ay2=a2表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆,则a的允许值的个数是 A1个B.2个C.4个D.无数个 2.椭圆关于x轴、y轴、原点对称;P(x,y)是椭圆上一点,则|x|≤a,|y|≤b, a-c≤|PF|≤a+c,(其中F是椭圆的一个焦点),椭圆的焦点到短轴端点的距离为a,椭圆的焦准距为,椭圆的通经(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2,通经是过焦点最短的弦。 [举例1]已知椭圆(>0,>0)的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,若 BF⊥BA,则称其为“优美椭圆”,那么“优美椭圆”的离心率为。 解析:|AB|2=2+2,|BF|=,|FA|=+,在Rt⊿ABF中,(+)2=2+2+2 化简得:2+-2=0,等式两边同除以2得:,解得:=。 注:关于,,的齐次方程是“孕育”离心率的温床。 [举例2]已知椭圆(>0,>0)的离心率为,若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转后,所得的新的椭圆的一条准线的方程为=,则原来椭圆的方程是。 解析:原来椭圆的右焦点为新椭圆的上焦点,在x轴上,直线=为新椭圆的上准线,故新椭圆的焦准距为,∴原来椭圆的焦准距也为,于是有:=①, =②,由①②解得:=5,=3。 [巩固1]一椭圆的四个顶点为A1,A2,B1,B2,以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点,的椭圆的离心率为。 [巩固2]在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为 (A)(B)(C)(D) [迁移]椭圆上有n个不同的点P1,P2,P3,…,Pn,椭圆的右焦点F,数列{|PnF|} 是公差大于的等差数列,则n的最大值为() A.198B.199C.200D.201 3.圆锥曲线的定义是求轨迹方程的重要载体之一。 [举例1]已知⊙Q:(x-1)2+y2=16,动⊙M过定点P(-1,0)且与⊙Q相切,则M点的轨迹方程是: 。 解析:P(-1,0)在⊙Q内,故⊙M与⊙Q内切,记:M(x,y),⊙M的半径是为r,则: |MQ|=4-r,又⊙M过点P,∴|MP|=r,于是有:|MQ|=4-|MP|,即|MQ|+|MP|=4,可见M点的轨迹是以P、Q为焦点(c=1)的椭圆,a=2。 [举例2]若动点P(x,y)满足|x+2y-3|=5,则P点的轨迹是: A.圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线 解析:等式两边平方,化简方程是最容易想到的,但不可行,一方面运算量很大,另一方面是平方、展开后方程中会出现xy项,这就给我们判断曲线类型带来了麻烦。但是,仔细观察方程后,就会发现等式左边很“象”是点到直线的距离,而等式右边则是两点间的距离的5倍;为了让等式左边变成点到直线的距离,可以两边同除以,于是有: =,这就已经很容易联想到圆锥曲线的第二定义了, 只需将方程再变形为:,即动点P(x,y)到定点A(1,2)与到定直线x+2y-3=0的距离之比为,∴其轨迹为椭圆。 [巩固1]已知圆为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于M,则点M的轨迹方程为. [巩固2]设x、y∈R,在直角坐标平面内,=(x,y+2),=(x,y-2),且||+||=8,则点 M(x,y)的轨迹方程为。 [提高]已知A(0,7),B(O,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A、B的椭圆,则椭圆的另一焦点的轨迹方程为。 [迁移]P为直线x-y+2=0上任一点,一椭圆的两焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),则椭圆过P点且长轴最短时的方程为。 4.研究椭圆上的点到其焦点的距离问题时,往往用定义;会推导并记住椭圆的焦半径公式。 [举例1]如图把椭圆的长轴AB分成8分,过 每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于,,…… 七个点,F是椭圆的一个焦点,则____________. 解析:P1与P7,P2与P6,P3与P5关于y轴对称,P4在y轴上, 记椭圆的另一个焦点为F/,则|P7F|=|P1F/|,|P6F|=|P2F/|,|P5F|=|P3F/|, 于是|P1F|+|P1F/|+|P2F|+|P2F/|+|P3F|+|P3F/|+|P4F|=7a=35. [举例2]已知A、B是椭圆上的两点,F2是椭圆的右焦点,如果AB的中点到椭圆左准线距离为,则椭圆的方程. 解析:==, 记AB的中点为M,A、B、M在椭圆左准线上的射影分别为A1、B1,M1,由椭圆第二定义知:|AF1|=e|AA1|,|BF1|=e|BB1|,于是有:e(|AA1|+|BB1|)=,而e= ∴|AA1|+|BB1

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