引言及第一章.ppt

中南大学数学公共课程之复变函数与积分变换引言第1章复数与复变函数
第2章解析函数
第3章复变函数的积分
第4章级数
第5章留数
第6章共形映射
第1章复数与复变函数1.1.1复数的概念两个复数相等的充要条件是他们的实部和虚部分别相等。1.1.2复数的代数运算2.复数的四则运算律共轭复数的运算性质：例1化简.
解
例2设，求及.
解

1.2复数的几何表示图1.21.2.2.复数的向量表示、模与辐角模的性质：复数的辐角设复数对应的向量为（如图1.2）,以正实轴为始边，以表示的向量为终边的角，称为复数的辐角,记作，即.4.复数的三角表示式
由可得复数的三角表示式：
5.复数的指数表示式
根据欧拉公式，可得复数的指数表示式
复数的球面表示
如图1.4，取一个与复平面切于原
点的球面，球面与始于原点且垂直
于复平面的射线相交于点N，对
复平面上任一点z，过z和N作直
线与球面相交于异于N的一点P，

反之，对球面上任一异于N的一点P，过N和P的直线与复平面交于一点z，因此，除去点N外球面上的点与复平面上的点一一对应,所以我们就可以用球面上的点来表示复数.
扩充复平面
从图1.4可以看到，当z无限远离原点时P无限逼近N.我们规定，无限远离原点的点称为无穷远点，它与球面上的点N对应.我们把包括无穷远点的复平面称为扩充复平面，不包括无穷远点的平面称为有限平面或复平面，本书如无特别声明，只考虑有限复数及复平面。

例3求和.
解

例4求的三角表示式与指数表示式.1.3复数的乘幂与方根定理2两个复数的商的模等于它们模的商；两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角的差.
三角表示式
设
则有
指数表示式
设，
则有1.3.2复数的乘幂
设为正整数，个非零相同复数的乘积，称为的次幂，记为，即

若，则有

当时，得到著名的棣莫弗(DeMoivr)公式：例5求.所以，1.3.3复数的方根
称满足方程的复数
为的次方根，记作，或记作

.。可求出6个根，它们是
例2计算1.4区域E的所有边界点组成的点集，称为E的边界.区域、闭域
平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件：
1）D是一个开集；
2）D是连通的，就是说D中任意两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.
区域加上它的边界称为闭域。1.4.2.单连通域与多连通域
简单曲线、简单闭曲线
设及是闭区间上连续的两个实函数，则由方程组
或由复数方程
（简记为）
所决定的点集C称为复平面上的一条连续曲线，
及分别称为C的起点和终点；对满足
，且
的及，当成立时，点称为此曲线C的重点；无重点的连续曲线，称为简单曲线或约当曲线；的简单曲线称为简单闭曲线.单连通域、多连通域
设D是平面上一区域，如果在D内任作一条简单闭曲线，而曲线所围的部分总属于D，则称区域D为单连通区域.不是单连通的区域称为多连通区域或复连通区域.
1.5复变函数如果的一个值对应着的一个值，则称函数
是单值的；如果的一个值对应着的两个或两个以上的值，则称函数是多值的。例1将定义在全平面上的复变函数化为一对二元实变函数.例2将定义在复平面上一对二元实变函数
，（）
化为一个复变函数.1.5.2映射的概念
如果复数和分别用平面和平面上的点表示，则函数在几何上，可以看成是将平面上的定义域变到平面上的函数值域的一个变换或映射，它将内的一点变为内的一点（如图1.13）.1.5.3反函数与复合函数
1.反函数
定义2设定义在平面的点集上，函数值集合在平面上.若对任意，在内有确定的与之对应.反过来，若对任意一点，通过法则，总有确定的与之对应，按照函数的定义，在中确定了为的函数，记作，称为函数的反函数，也称为映射的逆映射.2.复合函数
定义3设函数的定义域为，函数
的定义域为，值域.若对任一，通过有确定的
与之对应，从而通过有确定的值与对应，按照函数的定义，在中确定了是的函数，记作，称其为与的复合函数.
例如：函数
（均为复常数）的复合函数为.1.6复变函数的极限与连续性这个定义的几何意义是：当变点一旦进入
的充分小的去心邻域时，它的象点
就落入A的预先给定邻域中.复变函数的极限四则运算法则
定理2设，，则

(1)

(2)

(3)例1证明函数当时极限不存在.例1试求下列函数的极限.
（1）；（2）法2练习：
证明函数在时极限不存在.

1.6.2复变函数的连续性例3求例4讨论函数的连续性.定理4若函数在点处连续，函数
在连续，则复合函数
在处连续（证略）.定理4若函数在点处连续，函数
在连续，则复合函数
在处连续（证略）.
最值性质当在有界闭区域上连续时，则也在上连续，且可以取得最大值和最小值；
有界性在上有界，即存在一正数，使对于上所有点，都有.