复变函数课件--复变函数5 泰勒级数.ppt

§3泰勒级数按柯西积分公式,有由解析函数高阶导数公式,上式可写成K含于D,f(z)在D内解析,在K上连续,在K上有界,因此在K上存在正实数M使|f(z)|M.圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内.所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则f(z)在z0的泰勒展开式在圆域|z-z0|<d内成立.y例如,求ez在z=0处的泰勒展开式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,...)，故有除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质,以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法.例如sinz在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:例2求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.推论1：注：例如：而如果把函数中的x换成z,在复平面内来看函数§4洛朗级数只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的和.正幂项是一幂级数,设其收敛半径为R2：在收敛圆环域内也具有.例如,可以证明,上述级数在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导.其次,在圆环域:0<|z-1|<1内也可以展开为z-1的幂级数:定理设f(z)在圆环域R1<|z-z0|<R2内解析,则由柯西积分公式得因此有如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C,则根据闭路变形原理,这两个式子可用一个式子来表示:称为函数f(z)在以z0为中心的圆环域:R1<|z-z0|<R2内的洛朗(Laurent)展开式,它右端的级数称为f(z)在此圆环域内的洛朗级数.解：函数f(z)在圆环域i)0<|z|<1;ii)1<|z|<2;
iii)2<|z|<+内是处处解析的,应把f(z)在
这些区域内展开成洛朗级数.先把f(z)用部分分式表示:iii)在2<|z|<+内:函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析,因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例).我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆.所谓洛朗展开式的唯一性,是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的.例如在z=i和z=-i处展开函数为洛朗级数。特别的，当洛朗级数的系数公式例4