复变函数第12讲.ppt

复变函数第12讲§2留数1.留数的定义及留数定理如果函数f(z)在z0的邻域内解析,那末根据柯西-古萨基本定理因此将f(z)在此邻域内展开为洛朗级数f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...后,两端沿C逐项积分,右端各项积分除留下c-1(z-z0)-1的一项等于2pic-1外,其余各项积分都等于零,所以定理一(留数定理)设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则[证]把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中c-1(z-z0)-1项的系数即可.但如果知道奇点的类型,对求留数可能更有利.如果z0是f(z)的可去奇点,则Res[f(z),z0]=0,因为此时f(z)在z0的展开式是泰勒展开式.如果z0是本性奇点,则没有太好的办法,只好将其按洛朗级数展开.如果z0是极点,则有一些对求c-1有用的规则.2.留数的计算规则规则1如果z0为f(z)的一级极点,则事实上,由于f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+...,(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+... +c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,1011令zz0,即得(5.2.6)13由规则1,得我们也可以用规则III来求留数:16171819有时死套公式也不一定很方便.例如欲求函数应用公式得而这时用洛朗展开式求c-1就比较方便,因为观察公式的推导过程,不难发现,如果函数f(z)的极点z0的级数不是m,它的实际级数要比m低,这时表达式243.在无穷远点的留数设函数f(z)在圆环域R<|z|<内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分由于f(z)在R<|z|<+内解析,所以在此圆环域内可以展开成洛朗级数,从(5.1.5)式中的n=-1的情况定理二如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.[证]除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n).又设C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单闭曲线,则根据留数定理与在无穷远点的留数定义,有2930所以成立.定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法,在很多情况下,它比利用上一段中的方法更简便.3233由于-i与1在C内部,所以从上式,留数定理与规则IV得到作业开始第8题1),2),3)小题第9题1),2)小题第11题第12题1),2)小题