在理论物理发展过程中.doc

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物理雙月刊（廿五卷六期）2003年12月

分數量子霍爾態與弦理論

文/李仁吉
摘要

此文介紹弦論及霍爾理論之交互影響及發展。
一、引言
在理論物理發展過程中，同樣的物理數學方法與概念可被應用在不同的物理系統中似乎屢見不鮮，然而近20年來，像凝態物理中的量子霍爾理論與高能物理中號稱最後的唯一統一場論的超弦理論，能如此同步地交互發展，相互影響且共享相當多的數學物理技術與方法，並能相當程度地同時吸引兩個研究領域的科學家的關注，委實並不多見。
依筆者淺見，此或許是因為二者都是二維的量子系統所致(弦論中最重要的出發點即是Polyakov的二維世界面的量子路徑積分)，雖然霍爾理論是原子尺度(~1Å)的物理現象；而弦論的研究對象則是普朗克尺度(~10-33cm)的世界。然則此二研究領域的宿命卻是截然不同的，霍爾理論的研究已先後在1985與1998年獲得諾貝爾物理獎的肯定，其中1998年且有華裔實驗物理學家崔琦得獎；而回顧弦論發展的三十年歷史，雖也曾風光一時，集天下英才於一身，然其一路跌跌撞撞、廣受爭議，卻也是不爭的事實。
本文撰寫的初衷之一，即是希望能給國內弦論工作者一個簡單的分數量子霍爾理論的介紹，特別是近幾年來為大家所關注的不對易分數量子霍爾態，所謂的Moore&Read(MR)態極可能描述實驗上ν=5/2平台的報導。此霍爾態因違反ν的分母為奇數的Laughlin規則而聞名，它的建構與弦論的發展有極為密切的關係。另一方面也希望能藉此提供國內凝態物理工作者，特別是對低維強相干電子系統研究有興趣者，一個一窺弦論工作者所能提供的研究利器。

二、量子霍爾效應(QHE)
在大一普通物理課本中所提及的古典霍爾效應是在1879年由霍爾[1]所提出，當初的設計是用來決定二維電子系統的導電粒子是帶正電或負電。
考慮在z軸向強磁場B作用下的X-Y平面二維電子系統：電子密度n延x軸方向以電流密度JX流動；羅倫茲力建立了y軸向電場Ey；其比值定義了霍爾導電率：
，(1)
其中，。上式中h為普朗克常數，c為光速，e為電子電荷，表量子力學處理中(所謂蘭道問題Landauproblem)簡併基態的量子態密度。在量子力學中，由於包立不相容原理，每一電子佔有一等量的面積，稱磁長(magneticlength)。
由上述ν被稱為填充分數(fillingfraction)，物理上它表示每一簡併基態被填充的電子個數，例如：ν=1表所有第一蘭道能階的所有簡併態均被填滿；ν=2表示第一及第二蘭道能階的所有簡併態均被填滿。在此注意到在蘭道問題中，吾人未考慮電子與電子間的庫倫作用力，而只是解了二維電子在均勻磁場下的量子力學方程式，且假定電子的自旋自由度是被強磁場所凍結而呈現自旋偏極化(spin-polarized)狀態。
整數量子霍爾效應(IQHE)
在霍爾實驗近一百年後，1980年VonKlitzing[2]發現在低溫強磁場下與ν(或)未呈現如預期的線性關係。他發現在某些特定的ν值：ν=1,2,3,…，不隨磁場增加而改變，相反地卻呈現所謂平台(plateaus)現象。
此實驗結果可被應用來精密度量基本常數h及e，在實驗物理中巨觀的物理量()被量子化且可被用來度量微觀的基本常數(如普朗克常數h及電子電荷e)並不多見，VonKlitzing也因此發現而在1985年獲頒諾貝爾物理獎，然而故事並未因此而結束。
分數量子霍爾效應(FQHE)
在VonKlitzing的實驗後兩年，1982年[3]Tsui(崔琦)、Stormer及Gossard在更低溫(~1。K)及更高磁場下(~30Tesla)觀測到ν=1/3、2/5、3/7等的平台(ν=1/3為最顯著的實驗值，底下討論將以此為主)，此現象被稱為分數量子霍爾效應(FQHE)。
ν=1/3態似乎暗示每一蘭道簡併基態只填了1/3個電子！或者說庫倫力開始顯現效應而破壞了原有的蘭道簡併。一年後，1983年[4]理論物理學家Laughlin提出了著名的量子多體波函數，稱為Laughlin波函數：
式中為第k個電子的座標，為前述之磁長，而m=1,3,5,…為奇整數。注意到m=1即為蘭道波函數之Slater行列式。Laughlin波函數與前述之實驗家Tsui及Stormer共享了1998年諾貝爾物理獎。
這個被Laughlin本人聲稱為開啟二十一世紀新的電子學之門的波函數至少具有以下重要特性：
指數函數前的前置因式只與z有關而與z*無關，此與基態波函數之要求有關；前置因式為一多項式則與角動量守恆有關。此等特性埋下了日後弦論中二維保角場論的應用(見後文)。
由電漿對比(plasmaanalogy)之計算易得ν=。數個電子的數值計算顯示(2)式極精確地描述基態波函數。
m=3、5、7之多體波函數為一集體的強相干電子波函數(stron