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DSP课件中的数学推导及解释（v1.0） 陈明 1-1离散时间信号-序列 ：对正弦信号采样，T=1ms时，求序列 ：任何序列可以表示为单位冲激序列的移位加权和（即与的卷积和）。 解释：这个过程可以理解把任意序列分解成很多只包含一个非0序列值的序列之和，而每一个单独的序列可表示为，所以总的序列为多个之和。 ：数字角频率的单位为弧度/样本。 解释：复指数序列可以看成是由连续复指数信号采样得来，因此：，可以看到数字角频率与模拟角频率的关系是：，的单位为弧度/s，T的单位为s，或理解为s/样本，因此的单位为弧度/样本。 ：复指数序列不一定是周期的。 解释：要想为周期序列，必须满足：，则，因此，必须，与连续情况不同，这里要求N为整数，这使得当取某些值时，可能取不到整数的N，只有当为有理数（包括整数）时，才会存在整数N，序列才是周期的。 1-2线性移不变系统 ：要理解只是一个符号，不是一个具体的公式。所以不能将中的变量n简单替换为n-1，认为等式依然成立。实际上，的含义是输入序列先移位，然后再经过系统处理后的输出，的含义是输入序列先经过系统输出，然后再移位，两者是不一样的过程产生的输出，不要想当然认为一定相等。 ：判断下面系统是否是线性的 ： ： ： ：判断下面系统是否是移不变的 ： 注意上面的变量替换在后面的分析中经常遇到 ： 令，则 ：用BIBO稳定性定义分析累加器系统是否是稳定的 累加器系统：，令输入序列为，显然是有界的，而，当，是无界的。所以累加器系统不是稳定的。 目前已经证明了累加器系统是线性移不变因果不稳定系统。 ：求累加器系统的单位冲激响应 根据单位冲激响应的定义， ：证明LTI系统的输入与输出关系 第二个等号利用了任意序列可用单位冲激序列来表示，第三个等号利用了系统的线性，第四个等号利用了单位冲激响应的定义以及系统的移不变性。 ：如何求序列卷积和一定要去练习（一般用第二种方式，书上有例题） 第19,20页的证明不要求掌握，但要求记住。 ：判断LTI系统的因果稳定性 由于，是因果的。 ，是绝对可和的，即系统是稳定的。 ：证明 最后一个等号利用只能在取值 累加器系统和后向差分系统的级联等价于一个直通系统 已经证明累加器系统的单位冲激响应为 而后向差分系统的单位冲激响应为 因此，级联后系统的单位冲激响应为： ，这是全通系统 第二个等号利用了。 1-3常系数线性差分方程 ：证明：LTI系统满足初始松弛条件，则一定是因果系统 LTI系统的输入输出为 当时，上式可写为，初始松弛条件要求此时的，即 则必然要求，此时，所以有，即系统为因果系统 （其实，满足初始松弛条件的差分方程所代表的系统一定是LTI因果系统。这个结论可以用归纳法来证明） ：求，在初始松弛条件下系统的单位冲激响应 由于系统是因果的，所以，从n=0开始 ，， 可得 大家可以尝试用后面讲的z变换法求。 2-12-2z变换的定义与收敛域 ：ZTROC的性质一和二的证明不要求，性质三是显然的，下面证明性质四 根据ZT定义， 显然要使，必然要求都为0，即这是因果序列 要使，必然要求都为0，即这是反因果序列 第24-27页：每种序列ZTROC形式证明不要求，但要求记住。 ：利用ZT定义求下面序列的ZT，并获取ZTROC ： ，极点为。由于该序列为左边序列，所以ROC为 ：，是因果有限长序列， ： 有两个极点：右边部分的极点，左边部分的极点 这是双边序列，因此ROC为（由于，所以可保证） ：求下面序列的ZT，并获取ZTROC ，有两个极点：，由于是右边序列，所以ROC为 ，有两个极点：右边部分的极点为，左边部分的极点为，这是双边序列，所以ROC为 2-3z反变换 ：推导求的公式 因为： 两边乘以，则： 令，则： ：求的Z反变换 令：，则可求得待定系数： 所以 根据ROC的形式，序列为右边序列，所以可得 ：求的Z反变换 由于M=N，所以会有一项常数项，先用长除法确定该常数项 所以： 所以： 根据ROC的形式，可知序列为右边序列，因此： 2-4z变换的基本性质和定理 ：线性组合序列的ZTROC可能比交集大 有时候两个序列的组合，会使得它们的ZT函数组合后产生一个新的零点，正好与函数的某个极点抵消，由于少了极点，使得ROC扩大。 ：求的ZT ， 注意：由于新产生了一个零点，与极点抵消了，所以ROC不是两个序列ROC的交集，而是（实际该序列已经变成了一个有限长序列） ：证明ZT的时移性 ：求的Z反变换 由于，则 ：证明乘以指数序列特性 ：证明Z域求导 ：求的Z反变换 可得：，则 所以：，这里利用了时移性 而根据求导性质，则，所以 ：证明共轭性 ：证明翻褶性 ：证明ZT的时域卷
ys****39
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