导学案015导数应用(一).doc

济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号014班级：高三（）姓名
导数的应用（一）
考纲要求
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)．
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).
考情分析
1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点．
2.选择题、填空题侧重于利1用导数确定函数的单调性和极值．解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题.
教学过程

基础梳理
一、函数的单调性与导数
1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系
(1)若，则f(x)在这个区间内单调递增；

(2)若，则f(x)在这个区间内单调递减；

(3)若，则f(x)在这个区间内是常数．

2．利用导数判断函数单调性的一般步骤
(1)求；
(2)在定义域内解不等式；
(3)根据结果确定f(x)的单调区间．

二、函数的极值与导数
1．函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

双基自测
1．若函数f(x)＝＋＋3x－9在x＝－3时取得极值，
则a等于()
A．2 B．3
C．4 D．5
2．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是()
A．增函数
B．减函数
C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减
D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增

3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，
导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图
所示，则函数f(x)在开区间(a，b)
内有极小值点()A．1个 B．2个C．3个 D．4个

4函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．

5．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是________．

典例分析
考点一函数的单调性与导数
[例1](2011·天津高考改编)已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R.
(1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当t>0时，求f(x)的单调区间．

变式1.(2012·舟山模拟)已知函数f(x)＝x2＋3x－2lnx，则函数f(x)的单调减区间为________．
方法总结：
求可导函数单调区间的一般步骤和方法
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它们在定义域内的一切实数根．
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间．
(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．

考点二函数的极值与导数
[例2](2011·安徽高考)设f(x)＝eq\f(ex,1＋ax2)，其中a为正实数．
(1)当a＝eq\f(4,3)时，求f(x)的极值点；
(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．

变式2.(2012·青田模拟)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()
A．(0,1)B．(－∞，1)
C．(0，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))
方法总结：
求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格．
(4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个根或不可导点处取极值的情况.

考点三函数的单调性与极值的综合问题
[例3]（理）(2012·兰州调研)已知实数a>0，函数f(x)＝ax(x∈R)有极大值32.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求实数a的值．

变式3.(2012·台州调研)f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象最有可能是图中的(