2013考研数学基础班概率与统计讲义--王福海416.doc

2013考研数学基础班概率与统计讲义

主讲：王福海

2012年4月

2013考研数学基础班概率与统计讲义

目录
第一章概率论的的基础知识 1
第二章一维随机变量 7
第三章二维随机变量 14
第四章数字特征 22
第五章大数定律与中心极限定理 31

第一章概率论的基本知识

§1概率论的基本概念问题

一、随机试验与随机事件：
称一个试验为随机试验，如果
（1）试验可以在相同的条件下重复进行；
（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。
（3）进行一次试验之前，不能确定哪一个结果会出现。
我们是通过研究随机试验来研究随机现象的，为方便起见，将随机试验简称为试验，并用字母E或表示。
在一次试验中可能出现，也可能不出现的结果称为随机事件，简称为事件，并用大写字母A，B，C等表示，为讨论需要，将每次试验一定发生的事件称为必然事件，记为，每次试验一定不发生的事件称为不可能事件，记为。
随机试验中每一个最简单、最基本的结果称为基本事件或样本点，记为，每次试验最多只能发生一个基本事件，基本事件（或样本点）的全体称为样本空间（或基本事件空间），记为，即，随机事件A总是由若干个基本事件组成，即A是的子集，，事件A发生等价于构成A的基本事件有一个发生。
二、随机事件的关系及运算
事件间关系与运算的文字叙述集合论中的表示法概率论中的含义事件A包含事件B
（或事件B含于事件A）（或）事件B发生，则事件A一定发生事件A和B相等（或等价）A=B事件A发生，则B一定发生，反之亦然事件A和B之和（或并）或A+B两个事件A，B中，至少有一个事件发生事件A与B的积（或交）（简记为AB）事件发生，当且仅汉A与B同时发生事件A与B的差A-B事件A-B发生，当且仅仅当事件A发生，B不发生事件A的逆事件（或对立事件）事件发生，当且仅当事件A不发生事件A和B互不相容（或A与B互斥）事件A与B不可能同时发生
注：1、若事件组中任意两个事件都相互互斥，则称之为互斥事件组。
2、在一次试验中，基本事件都是两两互斥的。

三、事件的主要运算规律
1、
2、
3、若，则
四、典型例题
例1设A，B，C为三个事件，试表示如下事件：
①A发生但B不发生：
②A与B至少有一个发生：
③A与B恰有一个发生：
④A、B、C均不发生：

例2（88） 若事件A，B，C满足等式，则

（A）A=B(B)(C)(D)若C与A、B不相容则A=B

§2概率论的概念及性质，古典概型与几何概型

一、概率的概念及性质
1、定义：事件A的概率是事件A在一次试验中发生的可能性大小的一个数。
2、性质：
①
②
③如果事件A，B互不相容，则
④设A为任一随机事件，则
⑤设则，
⑥设A，B为任意两个随机事件，则
推广：

二、古典概型与几何概型
1、古典概率定义
设随机试验E的样本空间，n为有限的正整数，且每个样本点出现的可能性相等，则事件出现的概率
，即
2、几何概率
①设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点，若投中线段l上的点的数目与该段的长度成正比，而与该线段l在线段L上的相对位置无关，则点投中线段l的概率P为

②设平面图形g是平面图形G的一部分，向图形G上任投一点，若投中图g上的点的数目与该图形面积成正比，而与该图形g在图G上的相对位置无关，则点投中图形g的概率P为

③设空间体U是空间体V的一部分，则向V投点投中U的概率P为

3、计算古典概率时用到的一些中学的基本知识
①加法原理设完成一件事有n类方法（只要选择其中一类方法即可完成这件事），若第一类方法有种，第二类方法有种，…，第n类方法有种，则完成这件事共有N=++…+种方法。
②乘法原理设完成一件事须有n个步骤（仅当n个步骤都完成，才能完成这件事），若第一步有种方法，第二步有种方法，…，第n步有种方法，则完成这件事共有N=××…×种方法。
③排列从n个不同元素中任取个按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素取m个元素的所有排列种数，记为

从n个不同元素中全部取出的排列称为全排列，其排列的种数，记为。
④允许重复的排列从n个不同元素中有放回地取m个按照一定顺序排列成一列，其排列的种数为个。
⑤组合从n个不同元素中取出m个元素不管其顺序并成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，其组合总数记为：

三、重点题型
例1已知则。

例2（92） 设A，B，C为随机事件，P（A）=P（B）=P（C）=，P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=，则A，B，C至少出现一个的概率为 。

例3（09）袋中有1个红球、2个白球、3个黑球，从中取两次，每次取1只（有放回），则取得一