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§3.3平衡原理与机理模型
一.平衡原理
自然界任何物质在其运动变化过程中一定受到某种平衡关系的支配。
二.机理模型
在一定的假设下，根据主要因素相互作用的机理，对它们之间的平衡关系的数学描述。
三.微分方程模型
微元法：在自变量的微小的区间内以简单的形式描述有关变量之间的平衡关系,再利用微分
学的思想进一步处理它,得到以微分方程的形式描述的数学模型。

例1.人口的自然增长.
建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量
变化的过程。
假设1.人群个体同质。令N(t)表示t时刻的人口数。
假设2.群体规模大。N(t)连续可微.
假设3.群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的影响。
平衡关系：人口数在区间[t，t+Ut]内的改变量等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体
数之差。令B(t,Ut,N),D(t,Ut,N)分别表示在时间区间[t，t+Ut]内生育数和死
亡数,则有
N(t+Δt)-N(t)=B(t,Δt,N)-D(t,Δt,N)
假设4.从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。（生育率和死亡率）
生育率b(t,Ut,N)=B(t,Ut,N)/N,死亡率d(t,Ut,N)=D(t,Ut,N)/N
记增长率为R(t,Δt,N)=b(t,Δt,N)-d(t,Δt,N)则有N(t+Δt)-N(t)=R(t,Δt,N)N

将R(t,Ut,N)关于Ut展开.由于R(t,h,N)|h=0=0，所以

dR
R(,,)tΔtN=Δt+o()(,)()Δt=rtNΔt+oΔt
dΔtΔt=0

N(t+Ut)-N(t)=r(t,N)NUt+o(Ut).
两边除以Ut,并令Ut→0,得到dN/dt=r(t,N)N
假设5.群体增长恒定。（r与t无关）dN/dt=r(N)N
假设6.个体增长独立。（r与N无关）dN/dt=rN
rt
给定初值N(0)=N0，可得人口增长的指数模型(Maithus模型)N(t)=N0e
在离散时间点k=0,1,2,…,上有N(k+1)=erN(k)
Maithus:“若我的两个假设是成立的,那么,我认为人口繁殖的能量是无限地大于自然界为人
类提供资料的能量的。人口如果不受控制，它会以几何比率增长。而生活资料只能以算术比率
增长。只要稍微看一下数字，就将明确第一种能量比之第二种能量是无比巨大的。”《论人口
原理》
总结对人口指数增长模型的假设,
1.人群个体同质。
2.群体规模大。
3.群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的影响。
4.从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。（生育率和死亡率）
5.群体增长恒定。
6.个体增长独立。
由这些假设可分析这个模型的作用.
人口的指数增长模型不能很好地描述、更不能预测较长时期的人口演变过程。
美国人口数据：
1790180018101820183018401850
3.95.37.29.612.917.123.2
1860187018801890190019101920
31.438.650.262.976.092.0106.5
19301940195019601970198019902000
123132151179204227251281
拟合图形

修改假设6：r(N)=(1-N/K)K表示人口容量，反映资源环境对人口增长的制约作用。
人口增长的罗杰斯蒂克模型：dN/dt=r(1-N/K)NN(0)=N0
解曲线的拐点在N=K/2,过了拐点曲线的增势减缓。可以利用这个特点推测人口容量值。
拟合图形

修改假设1：考虑到不同年龄人的差异。记n(a,t)为人口分布密度函数,记μ(a,t)为在时刻t年
龄为a的人的死亡率,在时刻t年龄处在[r,r+Δa]范围内的人总数约为n(a,t)Δa
到了时刻t+Δt他们中活着的人年龄为a+Δt,总数约为n(a+Δt,t+Δt)Δa
平衡关系：n(a,t)Δa-n(a+Δt,t+Δt)Δa=μ(r,t)n(a,t)ΔaΔt
[n(a+Δt,t+Δt)-n(a,t+Δt)]Δa+[n(a,t+Δt)-n(a,t)Δa=-μ(r,t)n(a,t)ΔaΔt
两边除以ΔaΔt,再令Δt→0且Δa→0得∂n/∂a+∂n/∂t=-μ(r,t)n(a,t)
记β(a,t)为在时刻t年龄为a的人的生育率，则有n(0,t)=ƒβ(a,t)n(a,t)da

给定初始条件：n(a,0)=n0(a)构成具年龄结构的线性人口模型

例2池水含盐
池中有一定体积的盐水，从池的上部向池中注入一定浓度的盐水。混合后的盐水将从池的
下部流出。建模描述池中盐水浓度的动态。
假设：盐水注入池中后迅速混合,使得盐水浓度均匀。
变量、参量：

池中盐水体积V(t),池中盐水浓度p(t),盐量S(t);池中原有盐水体积V0,