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第一部分预测方法案例1：基于灰色预测和差分方程的中国人口增长趋势的研究中国是一个人口大国，人口众多、资源相对不足、环境承载能力较弱等是中国现阶段的基本国情。人口问题始终是制约中国发展的关键因素之一，因此，对中国人口的增长趋势做出分析和预测显得非常重要。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量的研究成果和数据资料。另外发现，近年来，中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。那么，根据已有的数据资料，运用数学建模的方法，对中国人口进行分析和预测是一种较有效的方法。本案例以全国赛2007年A题为背景，先运用灰色预测GM（1,1）模型对育龄妇女的生育率进行预测，然后利用差分方程建立人口预测模型。
案例2：运用拉氏变换与逆变换来求解微分方程
已知无源电路如图所示，试建立电路的微分方程并求出的关系式
案例3：基于微分方程理论的SARS传播模型SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome，严重急性呼吸道综合症,俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。本案例以全国赛2003年A题为背景，运用微分方程理论对SARS的传播建立数学模型.案例4：基于微分方程的最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度，一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼的最优捕鱼策略：假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，…,4龄组,各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克）各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）这种鱼为季节性集中产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×个，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22×/1.22×+n）渔业管理部门规定每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业如果每年投入的捕捞能力如渔船数下网次数等固定不变这时单位固定时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比比例系数不妨称捕捞强度系数通常使用13mm网眼的拉网这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼其两个捕捞强度系数之比为0.42：1渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。本案例以全国赛1996年A题为背景，运用微分方程理论建立数学模型分析如何实现可持续捕捞。案例5：基于时间序列分析方法的长江水质预测问题
水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。”
长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”，并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤。
本案例采用时间序列分析方法，来预测未来十年内长江水质的污染情况。
案例6：基于数据拟合与BP预测的输电阻塞管理问题
电力从生产到使用的四大环节——发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。我国电力市场初期是发电侧电力市场，采取交易与调度一体化的模式。电网公司在组织交易、调度和配送时，必须遵循电网“安全第一”的原则，同时要制订一个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作。本案例以2004年B题电力市场的输电阻塞管理为背景，分别使用数据拟合与BP神经网络预测的方法，对电网负荷及输电阻塞问题进行预报，然后建立非线性规划模型，求解最有的电力分配方案。
第二部分评价问题案例7：基于层次分析法的高考志愿选择策略一年一度的高考结束后，许多考生面临估分后填写志愿的决策过程。这个决策关系重大，请你建立一个数学模型，帮考生考虑到各种决策因素使之能轻松应对这一重大决策。
假设每个考生可填写四个志愿。现有北京甲、上海乙、成都丙、重庆丁四所大学。
考生通过网上信息初步考虑因素重要性主观数据如下表
相关权数北京甲上海乙成都丙重庆丁校誉名校自豪感0.220.750.70.650.6录取风险0.1980.70.60.40.3年奖学金0.0240.60.80.30.7就业前景0.1330.80.70.850.5生活环境离家近0.06