点、直线、平面之间的位置关系.doc

张竹强
MATHEMATICS

点、直线、平面之间的位置关系
学而时习之，不亦乐乎？
知识点回顾：
能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理.
1.点在直线上,记作；点在平面内,记作；直线在平面内,记作.
2.平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：
公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言3.公理2的三条推论：
推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.
典型例题分析
例题1、如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？

练习1-1、空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点.

练习1-2、已知：直线两两相交，交点分别为，
求证：直线共面.

练习1-3、在正方体中，
（1）与是否在同一平面内？（2）点是否在同一平面内？
（3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线.

1.、空间两条直线的位置关系：
2.、已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）.所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作.求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易.解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路.求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.
例题2-1已知异面直线a和b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有（）.
A.1条B.2条C.3条D.4条
2-2、如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点.（1）求证：D、B、F、E四点共面；
（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线.

例题2-3、已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.

练习2-1、如图，直线a,b是异面直线，A、B、C为直线a上三点,D、E、F是直线b上三点，A、B、C、D、E分别为AD、DB、BE、EC、CF的中点．
求证：（1）=；（2）A、B、C、D、E共面．

2-2、如图，已知空间四边形ABCD的对角线AC=14cm,BD=14cm，M，N分别是AB，CD的中点，MN=7cm，
求异面直线AC与BD所成的角．

2-3、点A是等边三角形BCD所在平面外一点,AB=AC=AD=BC=a,E、F分别在AB、CD上，且，设，表示EF与AC所成的角，表示EF与BD所成的角，则（）
A在上是增函数B．在上是增函数
C．在上是增函数，在上是减函数D．在上是常数
1.直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）.分别记作：；；.
2.两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作；.
例题3-1已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小.

3-2、在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若AC+BD=a，ACBD=b，求

A
B
C
D
E
F
G
H
练习3-1、已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且.

练习3-2如下图，设△ABC和△A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1、BB1、CC1相交于一点O，且===.试求的值.

学后反思：____________________________________________________________
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