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解答题规范专练(二)三角函数、解三角形

1.(2014·西安一模)已知函数f(x)=eq\f(\r(3),2)sin2x-cos2x-eq\f(1,2),x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=eq\r(3),f(C)=0,sinB=2sinA,求a,b的值.





2.(2014·石家庄模拟)已知f(x)=4cosxcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,3)))-2.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,6),\f(π,4)))上的最大值和最小值.





3.(2014·沈阳模拟)已知A,B,C是△ABC的三个内角,向量m=(sinA-sinB,sinC),向量n=(eq\r(2)sinA-sinC,sinA+sinB),且m∥n.
(1)求角B;
(2)若sinA=eq\f(3,5),求cosC的值.



答案


1.解:(1)∵f(x)=eq\f(\r(3),2)sin2x-eq\f(1+cos2x,2)-eq\f(1,2)
=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))-1,
∴函数f(x)的最小正周期是T=eq\f(2π,2)=π.
(2)∵f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))-1,且f(C)=0,
∴f(C)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2C-\f(π,6)))-1=0,
即sin(2C-eq\f(π,6))=1,
∵0<C<π,∴0<2C<2π,
∴-eq\f(π,6)<2C-eq\f(π,6)<eq\f(11π,6),
∴2C-eq\f(π,6)=eq\f(π,2),∴C=eq\f(π,3).
∵sinB=2sinA,∴由正弦定理得eq\f(a,b)=eq\f(1,2),①
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcoseq\f(π,3),
即a2+b2-ab=3,②
由①②解得a=1,b=2.
2.解:(1)因为f(x)=4cosxcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,3)))-2
=4cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosx+\f(\r(3),2)sinx))-2
=eq\r(3)sin2x+2cos2x-2
=eq\r(3)sin2x+cos2x-1
=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,6)))-1.
所以f(x)的最小正周期是T=eq\f(2π,2)=π.
(2)因为-eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,4),
所以-eq\f(π,6)≤2x+eq\f(π,6)≤eq\f(2π,3).
于是当2x+eq\f(π,6)=eq\f(π,2),即x=eq\f(π,6)时,
f(x)取得最大值1;
当2x+eq\f(π,6)=-eq\f(π,6),
即x=-eq\f(π,6)时,f(x)取得最小值-2.
3.解:(1)依题意得sin2A-sin2B=sinC(eq\r(2)sinA-sinC)=eq\r(2)sinAsinC-sin2C,
由正弦定理得,a2-b2=eq\r(2)ac-c2,
∴a2+c2-b2=eq\r(2)ac.
由余弦定理知,cosB=eq\f(a2+c2-b2,2ac)=eq\f(\r(2),2),
∴B=eq\f(π,4).
(2)∵sinA=eq\f(3,5),∴sinA<eq\f(\r(2),2),∴A<B.
又B=eq\f(π,4),∴A<eq\f(π,4),∴cosA=eq\f(4,5),
∴cosC=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)-A))=coseq\f(3π,4)cosA+sineq\f(3π,4)sinA=-eq\f(\r(2),10).
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