几何画板在命题中的应用.doc

几何画板在命题中的应用
——反思一道错误的中考数学题
湖北省来凤县实验中学杨少涌
编写一套严谨、科学、准确评价各个不同层次学生的数学试题,是一项艰苦细致的工作，稍有不慎就会出庇漏.。本文试剖析2012年恩施州中考数学试题中的一道错题,希望引起命题人员和试题审查人员的注意,并尝试探讨如何做到防患于未然，提出了一些自己的看法。
如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．

这是一道几何综合题，考察的知识点较多，较好的考察了学生几何推理的能力，有一定的难度。第一问考察了切线的判定，连接OB，有圆的半径相等，结合已知条件可证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线；解答过程如下：
（1）证明：连接OB
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC
又∵CD⊥OA
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°
∴∠OBA+∠ABC=90°
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线．

第二问考察了等边三角形的判定与圆周角定理，连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。解答过程如下：
（2）解：连接OF，AF，BF，
∵DA=DO，CD⊥OA，
∴FA=FO
∵FO=AO
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF=60°
∴∠ABF=∠AOF=30°

第三问考察了三角函数以及相似三角形的性质与判定。可过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，利用等腰三角形的三线合一性质可求出EG=BE=5，又Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，进而求出⊙O的半径。给出的标准答案如下：
（3）解：过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，
∴EG=BE=5
又Rt△ADE∽Rt△CGE
∴sin∠ECG=sin∠A=，
∴CE==13
∴CG==12，
又CD=15，CE=13，
∴DE=2，
由Rt△ADE∽Rt△CGE得=
∴AD=•CG=4.8
∴⊙O的半径为r=2AD=9.6
对于本题的第三问，笔者认为此题的条件出现了错误，值得商榷。在这类问题的常规解法中，很容易联想到垂径定理，作OM⊥AB于M点，
M

设OA=r,由sin∠OAM=易得cos∠OAM=,在Rt△AMO中，AM=cos∠OAM•r=r
由垂径定理可知AB=2AM=
在Rt△ADE中，AD=，AE==
由BE=AB-AE可得方程：_=10，解得r=≈7.67
显然，这个结果与给出的标准答案不同，那么问题出在什么地方呢？
反思这个解题思路，1）在解题过程中用到了三角函数和垂径定理，利用方程思想解决问题，可见后面的这个解题过程没有错误。2）在解题过程中没有用上CD=15这个已知条件。换而言之，这个一个多余的条件。3）如果沿着这种解题思路结合已知条件继续推导下去，还可求出线段CD的长度，过程如下：
M

G
如下图，过点C作CG⊥BE于G，由CE=CB，
∴EG=BE=5
∵∠DAE+∠DEA=90O∠ECG+∠CEG=90O
∠DEA=∠CEG
∴∠DAE=∠ECG
∴CE===13，
又由DE=tan∠OAM•r≈1.60,可求出CD=DE+CE≈14.60,与本题第三问给出的CD=15这个已知条件不吻合。进一步说明CD=15是多余的条件。
换个角度，若把CD=15作为一个已知条件，而不用BE=10这个条件，又可得到另一解答方法：
设OA=r,则AD=DO=r，DE=tan∠OAM•r=r，
又BC=CE=CD－DE=15－r,根据OD2+DC2=OB2+BC2列方程得：
(r)2+152=r2+(15－r)2
解得r=≈7.88
再换个角度，本题第三小问共三个已知条件，若去掉sin∠OAM=这个条件，用剩下的两个条件能否求出圆的半径呢？答案是肯定的，因过程较繁琐，故不再赘述。
由此可见，本题多给了一个条件导致出现了命题的错误。原创一定难度的几何题在所难免出现上述错误，那么如何在以后的几何命题和审查过程中发现这种错误呢？笔者想到了几何画板这个软件，它可以根据已知条件准确画出相应的几何图形，并能测量出图中任意指定的线段长度和角的大小。被称为“数学实验室”。
如下图，这是笔者根据sin∠OAM=与BE=10两个条件并结合本题前面给出的已知条件在几何画板中“实验”画出的图形，本图没有用上CD=10这个条件而图形已经唯一确定。说明CD=10这个条件是多余的，同时应用本软件测量功能测得半径OA≈7.67,而DC≈14.595,通过“实验”很容