2011中考数学复习课件34圆的有关性质(浙教版).ppt

第十单元实数
第34课时圆的有关性质4.圆周角定理及推论，并进行证明与计算
此内容为本课时的重点，又是难点.为此设计了［归类探究］中的例3，例4（包括预测变形1，2，3）；［限时集训］中的第2，3，10，11，14，15题.

1.圆的有关概念
定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一
个端点A随之旋转所形成的图形叫做 ，固定的端点叫做 ，
线段OA叫做圆的 .
等圆：半径相同的圆称为等圆.
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优
弧，小于半圆的弧称为劣弧.
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距.
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.
2.点与圆的位置关系
关系：如图34-1,点与圆的位置关系有三种，设点到圆心O的距离为d，
圆的半径为r.
（1）点在圆的外部：点到圆心的距离
圆的半径，OP1=d＞r；
（2）点在圆上：点到圆心的距离
圆的半径，OP2=d=r；
（3）点在圆的内部：点到圆心的距离
圆的半径，OP3=d＜r.
3.确定圆的条件

条件：经过不在同一直线上的三点 .

注意：三角形三边的垂直平分线有且只有一个交点，这一点叫做三角形的

外接圆的圆心，即三角形的外心.

4.圆的轴对称性

圆的轴对称性:圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是对称轴.

垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧.垂径定理的逆定理：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过 ，并且平分弦所对的两条.
注意：推论（1）“不是直径”是指被平分的弦不是直径，因为两条直径互
相平分，但并非一定垂直.
规律：如图34-2所示，因为圆是轴对称图形，
所以圆中的五个条件：①AC=CB,
②AD=DB,③AE=BE,④AB⊥CD，
⑤CD是直径，只要满足其中的两个，
另外三个就一定成立.5.圆心角

定义：顶点在 的角叫做圆心角.

注意：因为圆心角的顶点在圆心，所以圆心角的两边一定和圆相交.

定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数.

注意：1°的弧是指把圆心角360°分成360等份，那么1°的圆心角所

对的弧叫做1°的弧，因此n°的圆心角就对着n°的弧，圆心角

的度数与它所对的弧的度数相等.7.圆周角
定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角.
易错点：图34-3中的∠ABC都不是圆周角.

定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧
所对的 的一半.
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是 ，90°圆周角所对的弦是 .
注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一个是优弧所对的角，一
个是劣弧所对的角，这两个角互补.6.圆心角、弧、弦、弦心距的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦，
所对弦的弦心距 .
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心
距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.
注意：（1）应用圆心角、弧、弦、弦心距的关系时，前提条件是“在同
圆或等圆中”；
（2）本定理十分重要，它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间
的转化关系，是圆的相关性质的核心内容.8.圆内接四边形

定义：如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做

这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.

性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.

规律：圆内接四边形对角互补，它的外角起到了沟通圆内外图形的关系

的作用，利用这一性质可以把圆外的角转到圆内.归类探究【解析】
（1）如图所示，由∠2=∠A=∠D=∠1，得CF=BF；
（2）由CD=BC和AB是直径，运用勾股定理和面积法可直接求出AB和CE.
解：(1)证明：如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.
又∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，
∴∠2=90°-∠CBE=∠A.
又∵C是BD的中点，∴∠1=∠D=∠A，
∴∠1=∠2,∴CF=BF.
(2)由（1）知，BC=CD=6，∴在Rt△ABC中，AB=
∴⊙O的半径为5.
又∵S△ABC=

∴

即⊙O的半径为5，CE的长为
【点悟】在同圆（或等圆）中，圆心角（或圆周角）、弧、弦中只要有
一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等.这种性质可以将问题互
相转化，达到求解或证明的目的.类型之二垂径定理的运用

［2010·南通］如图34-5，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6cm，求直径AB的长．类型之二垂径定理的运用

［2010·南通］如图34-5，⊙O的直径AB垂直