《2.6.2 求曲线的方程》 教学案 2.doc

《2.6.2求曲线的方程》教学案2
教学目标
1．更进一步熟练运用求曲线方程的方法、步骤，能熟练地根据条件求出简单的曲线方程
教学重难点
求曲线的方程或轨迹的常用方法：直接法、定义法、待定系数法、转移法、点差法、参数法．
教学流程
一、复习回顾
(一)求曲线方程的一般步骤是什么？
“建、设、限、代、化(证——非等价变形时要查漏补缺)”
(二)前面我们学习过圆的方程，椭圆的方程，双曲线的方程，抛物线的方程等，求这些曲线的方程有哪些常用方法？
1.直接法、定义法、待定系数法．
①直接法：根据条件直接寻求动点坐标所满足的关系式，或依据圆锥曲线的定义直接确定曲线类型．
②定义法：分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程．
③待定系数法：已知动点轨迹类型，可先设出方程形式，再利用条件待定其中的系数．
2.请用我们学过的方法完成下列各题，并注明使用方法．
(1)将圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线方程．(使用方法：)
(2)动点P(x，y)到定点A(3，0)的距离比它到定直线x＝－5的距离少2．求：动点P的轨迹方程．(使用方法：)
(3)已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点A(－2，0)，B(2，0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．
①△PAB的周长为10；
②圆P与圆A外切，且点B在动圆P上(P为动圆圆心)；
③圆P与圆A外切，且与直线x＝1相切(P为动圆圆心)．
(使用方法：)
(4)等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过点A，B．求：该椭圆方程．
(使用方法：)
今天我们将学习求曲线方程的其他几种常用方法：转移法、点差法、参数法
3. 转移法：根据条件建立所求动点与相关动点坐标间的关系，用所求动点
坐标表示相关动点的坐标，并代人相关动点所在的曲线的方程，从而得到所求动点的轨迹方程．此法也称代人法．
4. 参数法：根据条件，将所求动点的坐标用恰当的参数(如角度、直线斜
率等)解析式表示出来，再利用某些关系式消去参数得到轨迹方程．
二、典例研究
例1经过原点的直线l与圆相交于两个不同点A，B，求线段AB的中点M的轨迹方程．
例2△ABC的顶点B，C的坐标分别为(0，0)，(4，0)，AB边上的中线的长为3，求顶点A的轨迹方程．
例3设椭圆与双曲线有公共的焦点F1(-4，0)，F2(4，0)，并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线交点的轨迹．
三、小结
1．求轨迹方程的一般步骤
建系、设点、列式、代入、化简、检验(检验就是要检验点的轨迹的纯粹性和完备性)化简过程若破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者要挖去多余的点．
2．求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点(x，y)的解析式．
(2)定义法：分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程．
(3)代入法：如果轨迹动点P(x，y)依赖于另一动点Q(a，b)，而Q(a，b)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，a，b的方程组，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程．
(4)参数法：如果轨迹动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程．参数法中常选角、斜率等为参数．
3．注意求“轨迹”与“轨迹方程”的区别与联系
“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，若是“求轨迹方程”，求得方程(包括范围)就可以了；若是“求轨迹”，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的形状、位置、大小等特征．
4．求圆锥曲线的轨迹方程要注意利用圆锥曲线的定义解题，从而简化解题过程．
5．求轴对称的曲线的方程的一般步骤：
(1)设所求曲线上任一点P(x，y)；
(2)求出其关于点或轴对称的点p′(x，y)；
(3)将p′坐标代入已知曲线得所求曲线方程．