数学第1轮总复习 全国统编教材 12.1数学归纳法及其应用(第1课时)课件 理 课件.ppt

第十二章极限与导数考点
搜索1.从一系列有限的①得出②—————————的推理方法，叫做归纳法.
2.对一个与正整数n有关的命题：
第一步：验证当n取③时命题成立；
第二步：假设当④时命题成立，证明当⑤时命题也成立.
在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从⑥开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.3.数学归纳法需要完成两个步骤的证明，缺一不可.其中第一步是奠基步骤，是⑦————————的基础；第二步反映了无限递推关系，即命题的正确性具有⑧.若只有第一步，而无第二步，则只是证明了命题在特殊情况下的正确性；若只有第二步，而无第一步，那么假设n=k时命题成立就没有根据，递推无法进行.1.设
那么f(n+1)-f(n)等于()

解：2.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f(n+1)为()
A.f(n)+n+1B.f(n)+n
C.f(n)+n-1D.f(n)+n-2
解：由n边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原(n-2)个顶点连成的(n-2)条对角线，及原先的一条边成了对角线.故选C.题型1用数学归纳法证明恒等式、不等式
则当n=k+1时，

所以当n=k+1时等式也成立.
综合(1)(2)知，对一切正整数n等式都成立.点评：运用数学归纳法证明恒等式(不等式)的要点是“两步一结论”，即第一步先验证初始结论；第二步是先假设n=k时命题成立，再由n=k时的命题作条件，推导n=k+1时结论也成立；一结论是指最后归纳前面两个步骤，得出原结论是成立的.所以当n=k+1时，不等式也成立.
综合(1)(2)知，对于一切大于1的自然数,
不等式都成立.1213题型2用数学归纳法证明整除性问题=a［ak+2+(a+1)2k+1］+(a+1)2k+3-a(a+1)2k+1
=a［ak+2+(a+1)2k+1］+(a2+a+1)(a+1)2k+1.
因为ak+2+(a+1)2k+1与
a2+a+1都能被a2+a+1整除，
所以上面的和也能被a2+a+1整除.
即当n=k+1时，ak+3+(a+1)2k+3能被a2+a+1整除.
综合(1)(2)知，命题对任何n∈N*都成立.点评：用数学归纳法证明整除问题的关键是第二步的配凑变形，即把n=k+1的命题形式通过添项配凑成n=k时的结论加除式的倍式的形式.已知f(n)=(2n+7)·3n+9，是否存在自然数m，使对任意n∈N*，都有m整除f(n)？如果存在，求出最大的m值，并证明你的结论；如果不存在，说明理由.
解：由f(1)=36，f(2)=108，f(3)=360，f(4)=1224，猜想f(n)被36整除.
证明：(1)当n=1时，猜想显然成立.
(2)假设当n=k时，f(k)能被36整除，
即(2k+7)·3k+9能被36整除.则当n=k+1时，f(k+1)=［2(k+1)+7］·3k+1+9
=3［(2k+7)·3k+9］+18(3k-1-1).
由假设知3［(2k+7)·3k+9］能被36整除，
而3k-1-1是偶数，所以18(3k-1-1)能被36整除，
从而f(k+1)能被36整除.综合(1)(2)知，
对任意n∈N*，f(n)能被36整除.
由于f(1)=36，
故36是整除f(n)的自然数m的最大值.平面内有n个圆，其中每两个圆都相交，任何三个圆都无公共点，证明：这n个圆把平面分成n2-n+2个区域.
证明：(1)当n=1时，一个圆把平面分成两个区域，而12-1+2=2，所以命题成立.
(2)假设当n=k时命题成立，即k个圆把平面分成k2-k+2个区域.则当n=k+1时，第k+1个圆与原有的k个圆共有2k个交点，这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧，其中每段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此共增加了2k个区域.
所以这k+1个圆把平面分成
k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2个区域，
即当n=k+1时命题也成立.
综合(1)(2)知，对任意n∈N*，命题都成立.1.数学归纳法的第一步有时要验证从n0开始的多个正整数命题成立，这主要取决于从k到k+1的奠基是什么数.如果假设当n=k时命题成立，并要求当k≥m时才能得出n=k+1时命题也成立，则第一步必须验证从n0到m的各个正整数命题都成立.
2.第二步的证明必须运用“归纳假设”作为证明n=k+1时命题成立的条件，否则就不是数学归纳法了.3.“归纳假设”可以是一个式子(等式或不等式)，也可以是一段具有数学意义的数学语言，有时需要对它作适当变通，而不是机械地套用.
4.如果命题是对正奇数(或正偶数)成立，则假设n=k时命题成立后，要证明n=k+2时也命题成立.若第(1)步证明n=1和n=2时命题成立，第(2)步假设n=k时命题成立，证明n=k+2时命题也成立，则对任何正整