充分条件与必要条件.doc

1.2充分条件与必要条件
一、选择题
1.设命题甲:ax2+2ax+1>0的解集是实数集R,命题乙:0<a<1,则命题甲是命题乙成立的()
A.充分不必要条件B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案:C
解析:若ax2+2ax+1>0的解集为R,
则a=0或即a=0或
∴0≤a<1.
因此乙⇒甲,但甲乙,
命题甲是命题乙成立的必要不充分条件.
2.已知α,β是不同的两个平面,直线a⊂α,直线b⊂β.命题p:a与b无公共点;命题q:α∥β,则p是q的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B[来源:1ZXXK]
解析:
如图,正方体中的a,b无公共点,但α,β相交.反之,显然α∥β⇒a与b无公共点.
3.函数f(x)=x2-2ax+1在(-∞,2]上是单调减函数的必要不充分条件是()
A.a≥2 B.a≥3
C.a≥0 D.a=6
答案:C
解析:f(x)=x2-2ax+1在(-∞,2]上递减的充要条件是a≥2,则判断a≥0满足条件.
4.若a,b为实数,则“0<ab<1”是“b<”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:D
解析:当0<ab<1,a<0,b<0时,有b>;反过来,b<,当a<0时,有ab>1.[来源:1]
∴“0<ab<1”是“b<”的既不充分也不必要条件.故选D.
5.a,b为非零向量.“a⊥b”是“函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)为一次函数”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
解析:函数f(x)=x2a·b+(b2-a2)x-a·b为一次函数,则即a⊥b且|a|≠|b|.
因此“a⊥b”是“f(x)是一次函数”的必要不充分条件.
二、填空题
6.若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的条件.
答案:充分不必要
解析:当A∩B={4}时,m2=4,∴m=±2.
∴“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.
7.设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=.
答案:3或4
解析:∵方程有实数根,∴Δ=16-4n≥0.∴n≤4.
原方程的根x==2±为整数,
则为整数.
又∵n∈N*,∴n=3或4.
反过来,当n=3时,方程x2-4x+3=0的两根分别为1,3,是整数;当n=4时,方程x2-4x+4=0的两根相等且为2,是整数.
8.已知a,b为两个非零向量,有以下命题:
①a2=b2;②a·b=b2;③|a|=|b|且a∥b.其中可以作为a=b的必要不充分条件的命题是.(将所有正确命题的序号填在题中横线上)[来源:1ZXXK]
答案:①②③
解析:显然a=b时,①②③均成立,即必要性成立.[来源:学_科_网]
当a2=b2时,(a+b)·(a-b)=0,不一定有a=b;
当a·b=b2时,b·(a-b)=0,不一定有a=b;
当|a|=|b|且a∥b时,a=b或a=-b,即①②③都不能推出a=b.[来源:学_科_网]
三、解答题
9.在下列各题中,判断A是B的什么条件,并说明理由.
(1)A:|p|≥2,p∈R,B:方程x2+px+p+3=0有实根;
(2)A:圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切,B:c2=(a2+b2)r2(其中r>0).
解:(1)当|p|≥2时,例如p=3,则方程x2+3x+6=0无实根,而方程x2+px+p+3=0有实根,必有p≤-2或p≥6,可推出|p|≥2,故A是B的必要不充分条件.
(2)若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切,则圆心到直线ax+by+c=0的距离等于r,即r=,所以c2=(a2+b2)r2;反过来,若c2=(a2+b2)r2,则=r成立,说明圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切,故A是B的充要条件.
10.求使关于x的方程x2-2mx+m2-m-2=0的两根都大于2的充要条件.
解:设关于x的方程x2-2mx+m2-m-2=0的两根为x1,x2,依题意,得
不等式组等价于
即
解得
∴m>.
即关于x的方程x2-2mx+m2-m-2=0的两根都大于2的充要条件为.