加权余量法 PPT.ppt

§1.3变分原理、如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则：微分方程对上式分部积分，直至u的导数消失，得：2.泛函的构造§1.3.1自然变分原理某些问题的物理本质往往能够以变分原理的
形式直接叙述出来。大家有疑问的，可以询问和交流对这类问题：例：最小位能原理§1.3.1自然变分原理§1.3.1自然变分原理§1.3.1自然变分原理由： 得到矩阵形式
其中
共有3n个方程，
若为完备的函数系列
则，时，收敛于精确解，
若n为有限项，则为近似解。
上述方法为Ritz法2）将代入2.解的收敛性§1.3.1自然变分原理4.讨论：但是未知函数往往还需要服从一些附加条件，可以将附加条件引入泛函，重新构造一个“修正泛函”，把问题转化为求修正泛函的驻值问题。常用方法：
Lagrange乘子法，罚函数法。原泛函的约束变分问题，转化为修正泛函*的
无约束变分，代价是修正泛函增加了附加未知函
数。单变量泛函双变量修正泛函.§1.3.2修正泛函变分原理即的系数阵为0。§1.3.2修正泛函变分原理§1.3.2修正泛函变分原理§1.3.2修正泛函变分原理§1.3.2修正泛函变分原理而，必须是奇异，才有非零解。§1.3.2修正泛函变分原理§1.3.2修正泛函变分原理第1章有限单元法的理论基础
——加权余量法和变分原理线性自伴随微分方程的变分原理的构造方法和泛函的性质，以及自然边界条件和强制边界条件的区别。

经典Ritz方法的求解步骤、收敛条件及其局限性两种形式虚功原理（虚位移原理和虚应力原理）的实质和构造方法。

从虚功原理导出最小位能原理和最小余能原理的途径，各自的性质以及场函数事先应满足的条件
等效积分形式等效积分“弱”形式1.已知一个数学微分方程,如何建立它的等效积分形式?
如何证明二者是等效的?4.什么是加权余量法的Galerkin方法,它有什么特点7.自然边界条件和强制边界条件的区别何在?
为什么这样命名?对于一个给定的微分方程,
如何区分这两类边界条件?10.Ritz方法的优缺点是什么?你能举例加以说明吗?13.如何利用最小位能原理建立数值解的求解方程,
解的收敛性和极值性的条件是什么?15.如何利用最小余能原理,建立数值解的求解方程?
方程有何特点?解的收敛性和极值性的条件是什么?§1.4.3变分的一些基本概念§1.4.3变分的一些基本概念§1.4.3变分的一些基本概念变分:y(x)的增量在它很小时称为变分，用y(x)或y表示，y(x)是指y(x)和与它相接近的y1(x)之差，即y(x)=y(x)-y1(x);这里：y(x)也是x的函数，只是y(x)在指定的x域中都是微量。（假定y(x)在接近y1(x)的一类函数中是任意改变的）。§1.4.3变分的一些基本概念§1.4.3变分的一些基本概念§1.4.3变分的一些基本概念§1.4.3变分的一些基本概念§1.4.3变分的一些基本概念泛函极大极小
泛函[y(x)]也有相类似的定义。
如果泛函[y(x)]在任何一条与y=y0(x)接近的曲线上的值不大（不小）于[y0(x)]，即：
=[y(x)]-[y0(x)]0(或0)时，则称泛函[y(x)]在曲线y=y0(x)上达到极大值(或极小值)，而且在y=y0(x)上有:§1.4.3变分的一些基本概念§1.4.3变分的一些基本概念§1.4.3变分的一些基本概念§1.4.3变分的一些基本概念§1.4.3变分的一些基本概念§1.4.3变分的一些基本概念从泛函变分极值问题上可以看到变分法的几个
主要步骤：由于ai的任意性，所以§1.4.3变分的一些基本概念