创新设计（浙江专用）高考数学二轮复习 大题规范天天练 星期六 第四周 综合限时练-人教版高三全册数学试题.doc

星期六(综合限时练)
解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)
1.(本小题满分12分)在公比为2的等比数列{an}中，a2与a5的等差中项是9eq\r(3).
(1)求a1的值；
(2)若函数y＝a1sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ))(其中0<φ<π)的一部分图象如图所示，M(－1，a1)，N(3，－a1)为图象上的两点，设∠MON＝θ，其中O为坐标原点，0<θ<π，求cos(θ－φ)的值.
解(1)由题可知a2＋a5＝18eq\r(3)，又a5＝8a2，故a2＝2eq\r(3)，∴a1＝eq\r(3).
(2)∵点M(－1，a1)在函数y＝a1sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ))的图象上，
∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋φ))＝1，又∵0<φ<π，∴φ＝eq\f(3,4)π.
连接MN，在△MON中，由余弦定理得
cosθ＝eq\f(|OM|2＋|ON|2－|MN|2,2|OM||ON|)＝eq\f(4＋12－28,8\r(3))＝－eq\f(\r(3),2).
又∵0<θ<π，∴θ＝eq\f(5,6)π，
∴cos(θ－φ)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－\f(3π,4)))＝coseq\f(5π,6)coseq\f(3π,4)＋sineq\f(5π,6)sineq\f(3π,4)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).
2.(本小题满分12分)甲、乙两所学校高三年级分别有600人，500人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区五校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：
甲校：

分组[70，80)[80，90)[90，100)[100，110)频数34714分组[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]频数17x42乙校：
分组[70，80)[80，90)[90，100)[100，110)频数1289分组[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]频数1010y4(1)计算x，y的值；
(2)若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异；
甲校乙校总计优秀非优秀总计(3)若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，现从已抽取的110人中抽取两人，要求每校抽1人，所抽的两人中有人优秀的条件下，求乙校被抽到的同学不是优秀的概率.
参考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（c＋d）（d＋b）)，其中n＝a＋b＋c＋d，
临界值表

P(K2≥k0)0.100.050.010k02.7063.8416.635解(1)从甲校抽取110×eq\f(600,600＋500)＝60(人)，从乙校抽取110×eq\f(500,600＋500)＝50(人)，
故x＝9，y＝6.
(2)表格填写如下：

甲校乙校总计优秀152035非优秀453075总计6050110K2的观测值k＝eq\f(110×（15×30－20×45）2,60×50×35×75)≈2.829＞2.706.
故有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异.
(3)设两班各取一人，有人优秀为事件A，乙班学生不优秀为事件B，根据条件概率，则所求事件的概率P(B|A)＝eq\f(P（A∩B）,P（A）)＝eq\f(3,11).
3.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AB，AD⊥DC，∠DAC＝60°，PA＝AC＝2，AB＝1.
(1)求二面角A－PB－C的余弦值；
(2)在线段CP上是否存在一点E，使得DE⊥PB，若存在，求线段CE的长度，不存在，说明理由.
解(1)如图，以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))分别为x，y，z轴的正半轴方向，建立空间直角坐标系，则P(0，0，2)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，2，0)，
Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0)).
易知eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0，2，0)是平面PA