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仰望星空，脚踏实地

2019版排位考试6-线代综合卷

一.选择题(8题，每题4分，共32分)
11⋯1
02⋯2
1.设퐷=||，则퐷中所有元素的代数余子式之和为
푛⋮⋮⋯⋮푛
00⋯푛
(A)0(B)n!(C)−n!(D)2n!

2.已知퐴,퐵均为푛阶方阵，则必有

(A)(퐴+퐵)2=퐴2+2퐴퐵+퐵2(B)(퐴퐵)푇=퐴푇퐵푇

(C)퐴퐵=푂时，퐴=푂或퐵=푂

(D)|퐴+퐴퐵|=0等价于|퐴|=0或|퐸+퐵|=0

3.设퐴是푚×푛矩阵，푚<푛，则

(A)|퐴푇퐴|≠0(B)|퐴푇퐴|=0(C)|퐴푇퐴|>0(D)|퐴푇퐴|<0

푇푇푇
4.已知向量组훽1=[0,1,−1],훽2=[푎,2,1],훽3=[푏,1,0]与向量组

푇푇푇
훼1=[1,2,−3],훼2=[3,0,1],훼3=[9,6,−7]有相同的秩，且훽3可由

훼1,훼2,훼3线性表示，则푎=

(A)5(B)10(C)15(D)20

푇푇푇
5.设α=(1,2,3),퐴푖=훼훽푖(푖=1,2,3,4)，其中훽1=(0,1,1),훽2=

푇푇푇
(−3,−2,0),훽3=(−2,−1,1),훽4=(−3,0,1)，则不能与对角矩阵相

似的矩阵是

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(A)퐴1(B)퐴2(C)퐴3(D)퐴4

6.下列结论正确的是

(A)若퐴,퐵的特征值相同，则퐴与퐵相似

(B)矩阵퐴的秩与其非零特征值的个数相等

(C)若퐴,퐵的特征值相同，则퐴与퐵等价

(D)퐴,퐵的特征值相同且퐴,퐵都可对角化，则퐴与퐵相似

푇222푇
7.已知3元2次型푥퐴푥经正交变换化为−푦1−2푦2−푦3，其中퐴=

퐴，则二次型푥푇퐴∗푥的正惯性指数为

(A)0(B)1(C)2(D)3

0−11
8.设퐴=[−101]，则当푘퐸+퐴是正定矩阵时，푘应满足条件
110
(A)푘>−1(B)푘>2(C)−1<푘<2(D)푘任意

二.填空题(6题，每题4分，共24分)
푎−3−22
9.若|푘푎+1−푘|=0，则푎=_______.
−4−2푎+3
110
10.设퐴=[021]，则퐴100=_______.
003
11.设퐴为푛阶方阵(푛≥2)，对任意푛维向量훼,均有퐴∗훼=0，则齐次线

性方程组퐴푋=0的基础解系中所含向量个数푘应满足_______.
101110
12.设퐴=[021],퐵=[122]，三阶方阵푋,푌满足퐴푋퐵−1−
110001

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퐴푌퐵−1=퐸.푋푌−푌2=퐸.则푌=_______.
001
13.设퐴=[푥1푦]有三个线性无关的特征向量，则푥与푦应满足条件
100
为______.

14.设퐴是푛阶实对称矩阵，且满足关系式퐴3+3퐴2+3퐴+2퐸=푂，则

二次型푓=푥푇퐴푥的负惯性指数为______.

三.解答题(9题，共94分)
123⋯푛
234⋯1
||
15.(本题9分)计算行列式|⋮⋮⋮⋮|.
푛−1푛1⋯푛−2
푛12⋯푛−1

100101
16.(本题9分)设퐴퐵퐴=퐶，其中퐴=[113],퐶=[010]，求
01−1001
퐵的伴随矩阵퐵∗.

12
17.(本题10分)设矩阵퐴=[]，
34
(1)求满足퐴푋−푋퐴=푂的矩阵푋；

(2)问퐴푋−푋퐴=퐴是否有解，若没有解，说明理由；若有解，请求出

全部解.

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112푎40
18.(本题10分)设퐴=[−110],퐵=[−10푐]，问푎,푏,푐为何值
1011푏1
时，矩阵方程퐴푋=퐵有解？有解时求出全部解.

19.(本题11分)设훼1,훼2与훽1,훽2为三维列向量组，且훼1,훼2与훽1,훽2都线

性无关.

(1)证明：至少存在一个非零向量可同时由훼1,훼2和훽1,훽2线性表示；

푇푇푇푇
(2)设훼1=[1,1,0],훼2=[1,0,1],훽1=[2,−1,3],훽2=[1,−1,1]，求

出可由两组向量同时表示的向量.

20.(本题11分)已知퐴是2×4矩阵，齐次方程组퐴푋=0的基础解系是

푇푇
훼1=(1,3,0,2),훼2=(1,2,−1,3)

又知齐次线性方程组퐵푋=0的基础解系是

푇푇
훽1=(1,1,2,1),훽2=(0,−3,1,푎)

(1)求矩阵퐴；

(2)如果齐次方程组퐴푋=0与퐵푋=0有非零公共解，求푎的值并求出非

零公共解.

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21.(本题11分)设向量훼1,훼2,…,훼푚线性无关，向量훽1可用它们线性表

示，向量훽2不能用它们线性表示，证