大连理工大学高等数值分析有限元简述.doc

椭圆与抛物微分方程的有限元法

有限元法是与差分法并驾齐驱的一套求解偏微分方程的方法。它的基本想法是，首先把微分方程转化成一种变分方程（微分积分方程），从而降低了对解的光滑性和边值条件的要求；然后，把求解区域划分成有限个单元（有限元），构造分片光滑函数，这个光滑函数由其在单元顶点上的函数值决定；最后，把这个分片光滑函数带入到上述微分积分方程中去，就得到关于单元顶点函数值的一个线性方程组，解之即得有限元解。与差分法相比，有限元法易于处理边界条件，易于利用分片高次多项式等等来提高逼近精度。
空间作为例子，我们将考虑区间上的微分方程。用表示在上勒贝格平方可积函数的集合，表示本身以及直到阶的导数都属于的函数的集合。我们下面用到的主要是。这里所说的导数准确地说是应该是广义导数，对此我们不予详细说明，只需知道比如说，连续的分片线性函数（折线函数）就属于，其广义导数是分片常数函数。另外，我们还用到空间。（空间=函数集合。）

微分方程考虑两点边值问题
（1）
（2）
（3）
其中都是区间上的光滑函数，,并且，是一个正常数。用中任一函数乘（1）式两端，并在上积分，得
（4）
利用分部积分，并注意和，得

以此代入到（4）得到
（5）
为了方便，定义
（7）
（8）
则相应于微分方程（1）-（3）的变分方程为：求满足
（9）
注意在（9）中不出现二阶导数。可以证明，满足微分方程（1）-（3）的光滑解一定满足变分方程（9）。（9）的解称之为（1）-（3）的广义解，它可能只有一阶导数，因此可能不是（1）-（3）的解；但是如果它在通常意义下二阶可微，则一定也是（1）-（3）的解。
另外注意，在变分方程（9）中，我们强制要求广义解满足边值条件，因而称之为强制（或本质）边界条件；而对边值条件，则不加要求。但是可以证明，如果广义解在通常意义下二阶可微，则一定有，即这个边界条件自然满足。这类边界条件称之为自然边界条件。总之，变分方程（9）不但降低了对解的光滑性的要求，也降低了对边值条件的要求。
有限元空间构造有限元法的第一步与差分法一样，也是对求解区间作网格剖分。相邻节点之间的小区间称为第个单元，其长度为。记。
在空间中，按如下原则选取有限元空间：它的元素满足所谓本质边界条件，在每一单元上是次多项式，并且在每个节点上都是连续的。当时，就得到最简单的线性元，这时每个可表为
，（10）
其中。

图1.一维线性元

线性元的另外一种表示方法是利用以下具有局部支集的基函数：
（11）
（12）

图2.线性元的基函数
显然，任一可以表为
（13）
有限元方程将变分方程（9）局限在有限元空间上考虑，就得到有限元方程：求有限元解满足
（14）
注意到和都可以表示成（13）形式，容易看出（14）等价于如下的线性方程组：求节点上的近似解满足
（15）
这个线性方程组是三对角的，可以用追赶法求解。
可以把微分方程（1）、变分方程（9）和有限元方程（15）比喻为确定“好人”的三种标准：他每一时刻表现都好；每一个人都说他好；一个遴选委员会说他好。
误差估计可以证明，微分方程（1）-（3）的解和有限元方程（14）或（15）的解之间的误差满足
（16）
其中是一个常数；表示范数，定义为
,（17）

二维椭圆方程有限元法以二维区域上的Poisson方程第一边值问题为例：
， （18）
（19）
其中是以为边界的一个二维区域。利用Green公式，容易推出相应的变分方程：求满足
， （20）
其中空间由在边界上为零且广义偏导数在区域上勒贝格可积的所有函数组成，
（21）
（22）
二维区域上最常用的剖分是形如下图的三角剖分：

我们可以相应地构造三角剖分上的线性元。对内点集合（例如上图中3，6，5这三个点）中每个节点，定义其基函数为一个分片线性函数，它在节点取值为1，而在所有其他节点为0。这样，有限元空间中任一元素就可以表示成。把它带入到变分方程（20）便得有限元方程：求上的近似解满足
（23）
高次元可以从两个途径来提高有限元法的精度，一个是加密网格，另一个是利用高次元。例如对于一维问题，可以使用所谓Hermite三次元，它在每一个单元上是一个三次多项式，由两个端点上的函数值和导数值总共4个参数确定。这时，相应于（16）我们有误差估计
（24）
其中表示阶导数。对于二维问题也可以使用高次元，但是其定义要稍微复杂一点。
抛物方程有限元法考虑一维抛物方程
（25）
（26）
（27）
其中系数都是和的已知光滑函数，初值是的已知光滑函数。它的变分方程为：求使得对每一个固定的，都有，并且
（28）
其中
（29）
（30）
抛物方程有限元法的通常做法是在时