第二章(2).doc

用心爱心专心

第二讲双曲线
[知识梳理]
［知识盘点］
1．双曲线的定义：我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为。这两个定点叫双曲线的，两个焦点之间的距离叫做双曲线的。
2．双曲线的第二定义：平面内，到定点(或)的距离与到定直线的距离之比是常数（即）的动点的轨迹叫做双曲线，这个定点是双曲线的，这条定直线叫做双曲线的，其中常数叫做双曲线的。
二．双曲线的标准方程
3．当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为，其中焦点坐标为，，且；
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为，其中焦点坐标为，，且.
当且仅当双曲线的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准形式。
三．双曲线的几何性质

方程

图

形y
O
A1
F1
A2
F2
x
y
O
B1
F1
B2
F2
x

范围或

对称性关于轴，轴及原点对称关于轴，轴及原点对称顶点离心率
准线渐近线
［特别提醒］
本节的重点是双曲线的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程、准线方程、第二定义的应用.关键是准确理解和掌握有关概念，灵活地运用数形结合、函数与方程的思想及等价转化的思想.为此建议在复习中注意以下几点：
1.双曲线中有一个重要的Rt△OAB（如下图），它的三边长分别是a、b、c.易见c2=a2+b2，若记∠AOB=θ，则e==.

2.双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||=2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点：
（1）距离之差的绝对值.
（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.
当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；
当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；
当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；
当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.
3.参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a＞0，b＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2=a2+b2；在方程Ax2+By2=C中，只要AB＜0且C≠0，就是双曲线的方程.
4.在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点P到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.
5.给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是±=0，则可把双曲线方程表示为－=（≠0），再根据已知条件确定的值，求出双曲线的方程.
[基础闯关]
1．设P是双曲线－=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于()
(A)1或5(B)6 (C)7 (D)9

2．（2005年北京春）“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要条件
3．过点（2，－2）且与双曲线－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是()
(A)－=1(B)－=1(C)－=1(D)－=1
4．（HYPERLINK"http://edu.sina.com.cn/exam/2006-06-07/192541160.html"\t"_blank"2006年陕西卷）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（）
（A）（B）（C）（D）2
5．已知圆C过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.
6．给出问题：F1、F2是双曲线－=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在题中的横线上.______________________________________________________.

[典例精析]
例1．设双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程。
［剖析］由于椭圆的焦点坐标为，且双曲线与椭圆具有相同的焦点，知双曲线的焦点也为，从而知所设双曲线的形式应为，围绕定义产生的问题，要注意的三个量之间的关系。本题抓住“交点”在双曲线上，必须满足定义，从而应用定义求出双曲线方程中的基本量。
［解］解法一：由椭圆，得其焦点为或，双曲线的焦点在轴上，设所求的双曲线方程为()