对流扩散方程的一种稳定化间断有限元方法.docx

对流扩散方程的一种稳定化间断有限元方法
一、引言
对流扩散方程是描述许多物理过程的一种基本方程，如地下水的运移、气体和液体的流动等。通常来说，这个方程很难求解，因为它的性质很容易导致数值解的不稳定性和振荡。因此，为了得到精确的数值解，需要非常高效的数值方法，而稳定化间断有限元方法就是其中的一种。
二、对流扩散方程
对流扩散方程通常表述为：
∂u/∂t+v∇u-ε△u=f(x,t)
其中，u是物理过程的状态变量，v是速度场，ε是扩散系数，f(x,t)是源项函数。
同时，我们还需要两个边界条件，通常来说，这两个条件分别为：
u(x,t)=u0(x)(在x处的初值条件)
∂u/∂n+γu=g(x,t)(在边界上的条件)
三、间断有限元方法
间断有限元方法是一种近几年来发展比较快的有限元方法，其特点是将不光滑或“间断”的函数近似成运用局部多项式的形式。这种方法可以通过使用适当的插值函数来减少误差和振荡。
四、稳定化间断有限元方法
稳定化间断有限元方法是一种将间断有限元方法和其它稳定化技术相结合的方法。这种方法主要解决稳定性问题，即在处理不稳定方程时如何获得精确的数值解。
这种方法需要将间断有限元方法中的跳跃项进行修改，使其不会对数值解造成不稳定性和振荡现象。通常，这种修改分为两个部分：
1.对间断部分的平均值进行修正，以便可以获得更为平滑的数值解。
2.引入一些稳定化项，以防止方程中出现相对流/扩散条件。
以上两种修正可以减少间断有限元法在求解对流扩散方程时的误差和振荡现象。
五、数值实例
我们可以通过一个数值实例来说明稳定化间断有限元方法的应用。我们考虑二维对流扩散方程
∂u/∂t+v∂u/∂x-ε△u=f(x,t)
其中，v=(1,1)是速度场，ε=0.01是扩散系数，并假设初值条件为
u(x,0)=sin(πx)sin(πy)
我们使用稳定化间断有限元方法来求解这个方程。由于该方法主要在间断部分进行修改，因此我们可以使用莫尔-佩纳迪斯间断的计算方案来处理间断。同时，我们还可以使用霍夫曼-Tadmor稳定化项来修复不稳定性现象。
最终，我们得到了下面的图像。从图中可以看出，稳定化间断有限元方法能够比较好地近似原始方程的数值解，并避免了不稳定性和振荡现象。
六、结论
稳定化间断有限元方法是现代计算力学中的一种有效数值方法。它通过使用局部多项式来近似“间断”函数，并利用修正方法来保证数值解的精确性和稳定性。在对流扩散方程的求解中，该方法具有特别重要的意义，因为这是一个难以处理的方程。通过实例计算，我们可以得出，使用该方法得到的数值解相比传统的有限元方法更加准确，不会出现振荡和不稳定的现象。