北邮通信工程数理方程讲义(上).ppt

第二章分离变量法（上）物理学、力学、工程科学甚至经济和社会科学中等许多问题都可以归结为偏微分方程的定解问题。第二章中我们讨论了怎样将一个物理问题表达为定解问题，这一章以及以下几章的任务是怎样去求解这些定解问题，也就是说在已经列出方程和定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解.
从微积分学得知，在计算诸如多元函数的微分和积分（重积分等）时总是把它们转化为单元函数的相应问题来解决，与此类似，求解偏微分方程的定解问题也可以设法把它们转化为常微分方程的定解问题来求解。分离变量法就是这样一种常用的转化方法。在这一章中，我们将通过一些实例，讨论分离变量法及其应用。
§2.1（1+1）维齐次方程的分离变量法这个问题的特点是，偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题可以运用叠加原理。我们知道，在求解常系数齐次常微分方程的初值问题时，是在先不考虑初始条件的情况下，求出满足方程的足够多的特解，再利用叠加原理做出这些特解的线性组合，构成方程的通解，然后利用初始条件来确定通解中的任意常数，得到初值问题的特解。这就启发我们要求解定解问题（）——（），须首先寻求齐次方程（）满足边界条件（）的足够多的具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们做线性组合，得到方程满足边界条件的一般解，再使这个一般解满足初始条件（）。
根据上面的分析，我们来求方程（）的具有变量分离形式

（）
的非零解，并要求它满足齐次边界条件（），式中X（x）、T（t）分别表示只与x有关和只与t有关的待定函数。将式（）代入方程（），由但方程（）包含一个待定任意常数。因此我们的任务是要确定取何值时方程（）才有满足条件（）的非零解，又要求出这个非零解X(x)。这样的问题称为常微分方程（）在条件（）下的本征值问题（也称固有值问题或特征值问题）。使问题（.1.6）、（）有非零解的称为该问题的本征值（也称固有值或特征值），相应的非零解X(x)称为本征函数（也称固有函数或特征函数）。下面我们对取值的三种情况进行讨论。1设，这时方程（）的通解为

也可以用数学软件Maple求解。结果是一样的。式中A，B（或）为积分常数，由条件（）得3设时，此时方程（）的通解可由Maple求出
>ode:=diff(X(x),x$2)+beta^2*X(x)=0;代入条件（），得由于（否则），故
即

（n为负整数的情况可以不必考虑，因为例如的形式）。从而得到一系列固有值与固有函数>dsolve(ode);其中由叠加原理可知，如果式（）右端的无穷级数是收敛的，而且关于x和t都能逐项微分两次，则它的和u（x，t）也满足方程（）和边界条件（）.现在要适当选择因为将式（）所确定的从上述求解偏微分方程的方法来看，一般情况下，是先求形式解，然后在一定条件下验证这个形式解就是古典解。这个验证的过程称为综合工作，鉴于篇幅和讲授时间的限制，也因为本书中所讨论的问题都是经典问题，在今后的叙述中，都不去做这个综合工作。也不去讨论所得的形式解成为古典解时需要附加的条件，只要求得了形式解，就认为问题得到了解决。从前面的运算过程可以看出，用分离变量法求解定解问题的关键步骤是确定固有函数和运用叠加原理。这些运算之所以能够进行，是因为所讨论的偏微分方程和边界条件都是线性齐次的，这是使用分离变量法的基础，希望读者注意。例1解下列定解问题解这里所考虑的方程仍是式(2.1.1)，所不同的只是在这一端的边界条件不是第一类齐次边界条件，而是第二类齐次边界条件．因此，通过分离变量，即令的步骤后，仍得到方程(2.1.5)与(2.1.6)但条件(2.1.7)应代之以
（）’
相应的固有值问题为求

的非零解．重复前面的讨论可知，只有当时，上述固有值问题才有非零解．此时式(2.1.6)的通解仍为从而得到一系列固有值与固有函数于是，所求定解问题的解可表示为c[n]:=2/l*int((x^2-2*l*x)*
sin((2*n+1)*Pi*x/(2*l)),x=0..l);因此，所求定解问题的解为比如在上述积分结果中令>factor(8*n^3+12*n^2+6*n+1);借助于计算机的帮助，我们可以节省大量原来用来计算的时间来思考问题本身。
为了加深理解，我们来分析一下级数形式解（）的物理意义。先分析级数的每一项

的物理意义。分析的方法是，先固定时间t，看看在任意指定时刻波形是什么形状；再固定弦上一点，看看该点的振动规律。把上式括号内的式子改变一下形式，得当弦上任意一点的横坐标x取定值时，得这种振动还有一个特点，在范围内还有n+1个点（包括两个端点）永远保持不动。这是因为在
的缘故。这些点在物理上称为节点。这也说明的振动是在范围内的分段振动，其中有n+1个节点。人们把这种包含节点的振动波叫做驻波。另外驻波还有n点达到最大值（