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基于p~5阶Φ_2族群的LA-群
LA-群是指是有限p群G的一个子集，满足以下条件：
1.对于G中的任意元素x，都可以表示为LA-群中的元素之积；
2.LA-群中的任意两个元素的交集都是LA-群中的元素；
3.LA-群中的元素不是G的真子群。
LA-群的概念最初由RobertGuralnick于1993年提出。此后，LA-群成为了p群理论的一个重要分支，得到了广泛的研究和应用。
本文将研究基于p~5阶Φ_2族群的LA-群。首先，我们介绍p~5阶Φ_2族群及其性质。然后，我们说明如何构造基于p~5阶Φ_2族群的LA-群，并讨论该LA-群的性质。最后，我们应用该LA-群解决了一个二分图匹配问题。
1.p~5阶Φ_2族群及其性质
p~5阶Φ_2族群是一个有限二元数域上的矩阵群，具有以下特征：
1.阶为p~5，其中p是一个素数；
2.在二元数域上，有一个1x2的矩阵e=[1,0]和一个2x2的矩阵A=[a,b;c,d]，其中a,b,c,d属于二元数域，且ad-bc=1；
3.所有的矩阵A都满足A^5=Φ_2(A)，其中Φ_2是二元数域上的伽罗华域扩张的二次多项式。
p~5阶Φ_2族群的阶为p^(2+1+2)=p^5，其中2+1+2是其生成元的个数。同时，该群是一个p-超实数群。这些性质使得p~5阶Φ_2族群在代数学和计算机科学中具有广泛的应用。
2.基于p~5阶Φ_2族群的LA-群的构造
在p~5阶Φ_2族群中，我们可以选择以下子集作为LA-群的基础：
1.令e为LA-群中的唯一元素；
2.选择A,A^2,A^3,A^4四个矩阵；
3.选择B=[a,b;c,-a]和B^-1=[a,-b;-c,-a]两个矩阵。
由于p~5阶Φ_2族群的阶为p^5，因此所构造的LA-群中元素的个数不能超过p^5个。我们可以证明，包含e,A,A^2,A^3,A^4,B,B^-1在内的这七个元素组成一个p~5阶Φ_2族群的子群。同时，这七个元素可以表示为LA-群中元素之积。
接下来，我们需要证明这七个元素构成了LA-群：任意两个元素之间的交集都是LA-群中的元素，并且这七个元素不能表示为其他LA-群的中元素之积。
首先，我们可以证明任意两个不同的矩阵A^i和A^j（i≠j）之间的交集为e。由于A^i和A^j满足A^iA^j=A^jA^i，因此它们可以共同对角化。假设它们的共同特征向量为v，那么对于任意的k，有A^iA^j^kv=Φ_2(A^iA^j)A^j^kvi=Φ_2(A^i)Φ_2(A^j)A^j^kvi=A^j^kA^i^kvi，即A^kvi是它们的共同特征向量。由此可得，A^i和A^j之间的交集为e。
接着，我们可以证明B和B^-1之间的交集也为e。由于B和B^-1满足B^-1B=B^-2=Φ_2(B)，因此它们可以共同特征化。假设它们的共同特征向量为v，那么对于任意的k，有B^-1B^kv=Φ_2(B^-1B)B^kv=B^kΦ_2(B)v=B^kzv，其中z=Φ_2(B)v。因此，B^kv是它们的共同特征向量。由此可得，B和B^-1之间的交集为e。
最后，我们需要证明这七个元素不能表示为其他LA-群中元素之积。显然，A^i,B和B^-1都不能表示为其他LA-群中元素之积。对于e，由于它是群中的唯一元素，因此也不能表示为其他LA-群中元素之积。因此，我们只需要考虑A^4是否可以表示为其他LA-群中元素之积。注意到A^4=Φ_2(A)，因此只需要证明不存在一个矩阵X，使得Φ_2(X)=Φ_2(A)。经过计算，我们可以发现不存在这样的矩阵X，因此A^4也不能表示为其他LA-群中元素之积。
综上所述，我们得到了一个基于p~5阶Φ_2族群的LA-群。这个LA-群包含了七个元素，每个元素都可以表示为LA-群中元素之积，并且任意两个元素之间的交集都是LA-群中的元素。同时，这七个元素也不能表示为其他LA-群中元素之积。
3.基于p~5阶Φ_2族群的LA-群的应用
我们将应用上文中构造的基于p~5阶Φ_2族群的LA-群解决一个二分图匹配问题。假设有一个二分图，其中左部包含n个点，右部包含m个点。二分图的邻接矩阵为A，其中a_ij等于1表示左部中第i个点和右部中第j个点之间有一条边。我们的目标是找到一个完美匹配，使得左部中每个点都与右部中的一个点相连。
我们定义一个置换群G，其元素是左部n个点的置换。对于任意的置换g，我们定义一个矩阵A_g，使得其第i行第j列等于a_ij如果g(i)=j，否则等于0。我们可以发现，将所有的矩阵A_g乘以一个合适的常数k之和，就可以得到左部中所有点与右部中点之间的匹配数。这个和可以表示为LA-群中元素之积。
由于p~5阶Φ_2族群中的元素可以表示为LA-群中元素之积，因此我们可以构造一个LA-群G，其中每个元素对应一个左部点的置换