高中数学第三章导数及其应用3.4导数在实际生活中的应用课件6苏教版选修.ppt

要点梳理
1.函数的单调性
在（a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0f(x)为；
f′(x)≤0f(x)为.2.函数的极值
（1）判断f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧，右侧，
那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x);
②求方程的根；
③检查f′(x)在方程的根左右值的符号.
如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；
如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得.3.函数的最值
（1）在闭区间［a,b］上连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在［a,b］上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在［a,b］上单调递减，则为函数的最大值，
为函数的最小值.
(3)设函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在［a,b］上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在（a,b)内的；
②将f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.基础自测
1.函数y=x3-3x的单调递减区间是_________.

解析∵y′=3x2-3,∴由3x2-3＜0,得-1＜x＜1.2.函数f(x)=x3+ax-2在区间（1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________
解析∵f(x)=x3+ax-2在（1，+∞）上是增函数，
∴f′(x)=3x2+a≥0在（1，+∞）上恒成立.
即a≥-3x2在（1，+∞）上恒成立.
又∵在（1，+∞）上-3x2＜-3,∴a≥-3.3.函数y=2x3-3x2-12x+5在［0，3］上的最大值，最小
值分别是_________
解析∵y′=6x2-6x-12=0，得x=-1（舍去）或2,故函数y=f(x)=2x3-3x2-12x+5在［0，3］上的最值可能是x取0，2，3时的函数值，而f（0）=5，f（2）=
-15，f（3）=-4,故最大值为5，最小值为-15.4.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′(x)在（a，b）内的图象如图所示,则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点 ____个

解析f′(x)＞0时,f(x)单调递增，f′(x)＜0时，f(x)单调递减.极小值点应在先减后增的特殊点，即f′(x)＜0→f′(x)=0→f′(x)＞0.由图象可知只有1个极小值点.5.若函数f(x)=在x=1处取极值，则a=.
解析因为f(x)在x=1处取极值，所以1是f′(x)=0的根，将x=1代入得a=3.题型一函数的单调性与导数
【例1】已知函数f(x)=x3-ax-1.
（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.
求f′(x)→f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立→a的范围.解（1）由已知f′(x)=3x2-a.
∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
∴f′（x）=3x2-a≥0在（-∞，+∞）上恒成立.
即a≤3x2对x∈R恒成立.
∵3x2≥0,∴只要a≤0.
又∵a=0时，f′(x)=3x2≥0，
∴f（x）=x3-1在R上是增函数，∴a≤0.
（2）由f′(x)=3x2-a≤0在（-1，1）上恒成立.
∴a≥3x2在x∈（-1，1）上恒成立.
又∵-1＜x＜1,∴3x2＜3,只需a≥3.
当a=3时，f′(x)=3(x2-1)在x∈(-1,1)上，f′(x)＜0,
即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3.
故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.探究提高利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)＞0(或f′(x)＜0)仅是f(x)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（a，b）内可导的函数f(x)在（a,b)上递增（或递减）的充要条件应是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］,x∈(a,b)恒成立，且f′(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f′（x0）=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，因此，在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f′(x)不恒为0，则由f′(x)≥0［或f′(x)