2019届江苏专用高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3利用导数研究函数的最(极)值讲义文.ppt

第3讲利用导数研究函数的最(极)值考试要求1.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，A级要求；2.利用导数求函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)，B级要求．知识梳理
1．函数的极值
若在函数y＝f(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有，则称函数y＝f(x)在点x＝x0处取得极大值，记作；若在x0附近的所有点x，都有
，则称函数y＝f(x)在点x＝x0处取得极小值，记作．2．求函数极值的步骤：
(1)求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根；
(3)观察在每个根xn附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化，若f′(x)的符号由正变负，则f(xn)是极大值；若由负变正，则f(xn)是极小值；若f′(x)的符号在xn的两侧附近相同，则xn不是函数f(x)的极值点．3．函数的最值
若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有≤，则称f(x0)为函数的最大值，记作ymax＝；若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有≥，则称f(x0)为函数的最小值，记作ymin＝．4．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤：
(1)求f(x)在区间[a，b]上的极值；
(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的． ()
(2)函数的极大值不一定比极小值大． ()
(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．
()
(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．
()解析(1)函数在某区间或定义域内极大值可以不止一个，故(1)错误，(3)对可导函数f(x)，f′(x)＝0是x0为极值点的必要条件．
答案(1)×(2)√(3)×(4)√2.(选修11P34T8)函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是________.
解析∵f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
∴f(x)在[－1，0)上是增函数，f(x)在(0，1]上是减函数.
∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(0)＝2.
答案2考点一用导数研究函数的极值(多维探究)
命题角度一根据函数图象判断极值
【例1－1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论：①函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；
②函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)；
③函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)；
④函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)．
其中一定成立的是________(填序号)．解析由题图可知，当x<－2时，1－x>3，此时f′(x)>0；当－2<x<1时，0<1－x<3，此时f′(x)<0；当1<x<2时，－1<1－x<0，此时f′(x)<0；当x>2时，1－x<－1，此时f′(x)>0，由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
答案④若b＝1，c＝－1，
则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，f(x)没有极值．
若b＝－1，c＝3，
则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)．
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：规律方法(1)求函数f(x)极值的步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数f′(x)；
③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值；如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．
(2)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．应注意，导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论.【训练1】设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a>0)．
(1)当a＝1，且函数图象过(0,1)时，求函数的极小值；
(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围．考点二利用导数求函数的最值
【例2】(2017·徐州模拟)已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：

所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)