2019-2020年江苏专版高考数学一轮复习第九章导数及其应用9.3导数在实际问题中的应用及综合应用.ppt

§9.3导数在实际问题中的应用及综合应用1.用导数研究函数的最值
确定函数在其定义域内可导(通常为开区间),求出导函数在定义域内的零点,研究在零点左、右的函数的单调性,若左增、右减,则在该零点处函数取极大值;若左减、右增,则在该零点处函数取极小值.
2.根据问题的实际意义,求出问题的最优解.
3.生活中常见的函数优化问题
(1)费用、成本最省问题;
(2)利润、收益最大问题;
(3)面积、体积最大(小)问题.利用导数解决生活中的优化问题
在求实际问题中的最大值或最小值时:
(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示,还要注意确定出函数关系式中自变量的取值范围.
(2)要注意求得结果的实际意义,不符合实际的值应舍去.例1(2017苏锡常镇四市高三教学情况调研(一),17)某单位举办庆典活动,要在广场上树立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图).设计要求彩门的面积为S(单位:m2),高为h(单位:m)(S,h为常数).彩门的下底BC固定在广场的底面上,上底和两腰由不锈钢支架构成,设腰和下底的夹角为α,不锈钢支架的长度和记为l(单位:m).
(1)将l表示成关于α的函数l=f(α);
(2)当α为何值时,l最小?并求出最小值.
 解析(1)过D作DH⊥BC于点H,∠DCB=α ,DH=h,设AD=x,
则DC= ,CH= ,BC=x+ ,
所以S=  ·h,则x= - ,
则l=f(α)=2DC+AD= +h  .

(2)f'(α)=h· =h· ,令f'(α)=h· =0,得α= .
f(α),f'(α)随之变化情况如下表:导数的综合应用
研究多元问题的基本策略是尽量地减少变元的个数,因此“消元”是解决问题的关键,“消元”时不能改变原来变量的取值范围,即“换元不换域”,所以正确确定原来变量的范围也很重要.
例2(2017江苏南通、扬州、泰州调研,14)若存在α,β∈R,满足 则实数t的取值范围是.解析由α≤t≤α-5cosβ,得α-5cosβ≥α,从而cosβ∈[-1,0],
令cosβ=x(x∈[-1,0]),则t=x3+ x,
若x=0,则t=0;
若x≠0,则由t=x3+ x,得α= ,从而 ≤t≤ -5x,
∴2t-2x3-5x2≤tx≤2t-2x3,于是存在x∈[-1,0),使 ≤t≤ 成立,
令f(x)= ,则f'(x)= ,∵x∈[-1,0),∴f'(x)>0,故f(x)在[-1,0)上单
调递增,从而f(x)min=f(-1)=- ,故t≥- .
令g(x)= ,则g'(x)=- ,∵x∈[-1,0),∴g'(x)<0,故g(x)在
x∈[-1,0)上单调递减,从而g(x)max=g(-1)=1,故t≤1.
综上所述,t∈ .