2019届浙江专版高考数学一轮复习第三章导数3.2导数的应用讲义.ppt

§3.2导数的应用考点一导数与单调性
1.设函数y=f(x)在某个区间内可导,若f'(x)>0,则f(x)为增函数;若f'(x)<0,则f(x)为减函数.
2.在确定函数的单调区间,求函数的极大(小)值时,都应先考虑所给函数的定义域,函数的单调区间应是其定义域的子集.
3.当求出的函数单调区间(如单调增区间)有多个时,不能把这些区间取并集.
4.f'(x)>0(或f'(x)<0)是f(x)在某一区间上为增函数(或减函数)的充分不必要条件.考点二导数与极值、最值
1.设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)<f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0);如果对x0附近的所有的点,都有f(x)>f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值.
2.当函数f(x)在x=x0处连续时,判断f(x0)是极大(小)值的方法:
(1)如果x<x0时有f'(x)>0,x>x0时有f'(x)<0,则f(x0)是①极大值;
(2)如果x<x0时有f'(x)<0,x>x0时有f'(x)>0,则f(x0)是②极小值.
3.函数的最大值与最小值
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,先求f(x)在(a,b)内的极值;将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是③最大值,最小的一个是④最小值.
4.可导函数的极值点必须是导数为零的点,但导数为零的点不一定是极值点,如f(x)=x3在x=0处的导数f'(0)=0,但x=0不是它的极值点,也就是说,可导函数在x=x0处的导数f'(x0)=0是该函数在x=x0处取得极值的必要不充分条件.特别地,函数的不可导点也可能是极值点.
5.函数的极值与函数的最值的区别:函数的极值是一个局部性概念,而最值是某个区间的整体性概念;函数的极值可以有多个,而函数的最大(小)值最多只有一个.
6.极值点不一定是最值点,最值点也不一定是极值点,但如果连续函数在开区间(a,b)内只有一个极值点,则极大值就是最大值,极小值就是最小值.函数的单调性的解题策略
f'(x)>0(或f'(x)<0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件,在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f'(x)≥0(或f'(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,且f'(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排除在区间内个别点处有f'(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处有f'(x0)=0,只要这样的点不充满所给区间的任何一个子区间即可.因此,在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使
f'(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去,若f'(x)不恒为0,则由
f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围即为所求.例1(2017浙江湖州期末调研,20)已知a≥2,函数F(x)=min{x3-x,a(x+1)}.
(1)若a=2,求F(x)的单调递减区间;
(2)求函数F(x)在[-1,1]上的最大值.解题导引
(1)写成分段函数→利用导函数小于零得单调减区间
(2)由条件得F(x)=x3-x→利用导数得F(x)的单调性→利用单调性得F(x)的最大值解析(1)若a=2,则x3-x-a(x+1)=x3-x-2(x+1)=(x+1)(x2-x-2)=(x+1)2(x-2),
所以F(x)=  (3分)
当x≤2时,F'(x)=3x2-1=3  ,
由F'(x)<0,得- <x< ,所以F(x)在区间 上单调递减. (6分)
当x>2时,F(x)=2x+2在区间(2,+∞)上单调递增,
所以,F(x)的单调递减区间是 . (7分)
(2)令g(x)=x3-x-a(x+1)=(x+1)(x2-x-a). (9分)
当-1≤x≤1时,x+1≥0,又a≥2,
所以x2-x-a≤0,故g(x)≤0,所以F(x)=x3-x. (13分)
由F'(x)=3x2-1=0,
得x=± ,
所以函数F(x)在区间 和 上单调递增,
在区间 上单调递减,
所以F(x)max=max =max = . (15分)评析本题考查分段函数,利用导数判断函数的单调性,求函数的最值,考查逻辑推理能力和化归与转化思想.函数的极值和最值的解题策略
在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的最大(小)值,是开区间(a,b)内所有极大(小)值与端点处函数值f(a)、f(b)中的最大(小)值.函数的最大(小)值与函数的单调